%=====================================================================
% ���Ĺ��� 5E �׻������ѥƥ�����
%�����ơ��ޡ���ǯ����˸����ƤΤޤȤ�
%    �ܥƥ����Ȥ�����
%      ��ϢΩ�켡������(ȿ��ˡ)
%      �����ˡ
%      ����ʬ
%      ������ʬ������
%
% last updated 2006.2.7
%    created by  Masashi Yamamoto
%     e-mail yamamoto@akita-nct.jp
%=====================================================================
\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{graphicx,amssymb,ascmac,float,html,amsmath}
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\hugesymbol}[1]{\mbox{\strut\rlap{\smash{\Huge$#1$}}\quad}}
\oddsidemargin 0mm  %����;�� 25.4mm-0mm������ڡ���
\evensidemargin 0mm %����;�� 25.4mm-0mm�������ڡ���
\textwidth 160mm
%
\begin{document}
\title{����ޤǤΤޤȤ�(��ǯ����˸�����)}
\author{���ܾ���\thanks{��Ω����ˡ�͡����Ĺ��ȹ�������ع����ŵ����ز�}}
\date{2006ǯ2��10��}
\maketitle
%
%
%=====================================================================
\section{�Ϥ����}
%=====================================================================
��ǯ����˸����ơ��ؽ��Υݥ���Ȥ򼨤����������ֻ���顤����ޤǰʲ��ˤĤ�
�ƿ��ͷ׻��γؽ���Ԥä���
%
\begin{itemize}
 \item{ϢΩ�켡������(ȿ��ˡ)}
      \begin{itemize}
       \item{�䥳��ˡ}
       \item{�����������ǥ�ˡ}
       \item{SORˡ}
      \end{itemize}
 \item{���ˡ}
      \begin{itemize}
       \item{�饰��󥸥�����ˡ}
       \item{���ץ饤�����ˡ}
      \end{itemize}
 \item{������ʬ}
      \begin{itemize}
       \item{�������}
       \item{����ץ���θ���}
       \item{���ƥ������ʬ}
      \end{itemize}
 \item{��ʬˡ�ˤ������ʬ�������ο��ͷ׻�}
      \begin{itemize}
       \item{��ץ饹������}
       \item{��ư������}
      \end{itemize}
\end{itemize}
%
�����Ǥϡ������ˤĤ��ơ���ñ�ˤޤȤ�Ƥ��롥���줬�ؽ��κǽ��ץݥ���ȤǤ����
�Ǥ��ä����ٶ����Ƥۤ��������Υץ��Ȥ򸫤ʤ��顤ʬ����ʤ���ʬ�ϼ������ۤä���
���Ȥ��䤤�����򤹤뤳�Ȥ��ؽ��Τ��ĤǤ��롥

���ͷ׻��Τ�����������ˡ��ؽ����������ۤȤ�����Ƥ���ˡ��1�Ĥμ�������Ǥ��롥
���μ���Ƴ���������Ȥ����ʤ���С������Ǥμ��ȤǤγؽ��ϴ����Ǥ��롥��ǯ���
�Ǥϡ��Ȥ����ʤ��뤫�ݤ���Ĵ�٤뤳�Ȥ��񤷤��Τǡ�����Ƴ�����Ȥ��濴�˽��ꤹ�롥
%
%=====================================================================
\section{ϢΩ�켡������(ȿ��ˡ)}
%=====================================================================
����Ū�ʥץ������Ǥϡ������礭��ϢΩ��������׻����ʤ��ƤϤʤ�ʤ�����ɴ����
�˵ڤ֤��Ȥ��������ʤ�������򡤥���������������ˡ��
�׻�����λ���Ū�ˤۤȤ���Բ�ǽ�Ǥ��롥�����ǡ�������ϳ��ʤ˷׻���®����ˡ��
�Ѥ����롥�����Ǥϡ����ΰ�ĤȤ���ȿ��ˡ���ñ���������롥

���������Ǥ⡤ϢΩ������
%
\begin{align}
  \vm{A}\vm{x}=\vm{b}
  \label{eq:linear_equations}
\end{align}
%
��������$\vm{x}$����ͷ׻��ˤ�ꡤ���뤳�Ȥˤʤ롥�����ǡ����β�$\vm{x}$�Ȥ��롥

�����ǡ�����׻��ˤ��n���ܤǵ���줿��Τ�$\vm{x}_n$�Ȥ��롥�����ơ��׻���������䤷�ơ�
%
\begin{align}
  \lim_{n\rightarrow\infty}\vm{x}_n=\vm{x}
\end{align}
%
�ˤʤä��Ȥ��롥�����ͤ˷׻���������䤷�ơ����β�˶�Ť�����ˡ��ȿ��ˡ�Ȥ�����

�����ͤ���ˡ�ϡ�����$\vm{A}$��$\vm{S}-\vm{T}$��ʬ�򤹤�����ǡ��ưפ˺�뤳�Ȥ�
�Ǥ��롥���Ȥ��С�
%
\begin{align}
  \vm{S}\vm{x}_{k+1}=\vm{T}\vm{x}_{k}+\vm{b}
  \label{eq:relaxation}
\end{align}
%
�Ȥ���Ф褤�������ǡ�$\vm{x}_k$��$\vm{\alpha}$�˼�«����Ȥ��롥����ȡ���
(\ref{eq:relaxation})�ȼ�(\ref{eq:linear_equations})����٤�С�$\vm{\alpha}$��
$\vm{x}$�����������Ȥ��狼�롥���ʤ������(\ref{eq:relaxation})�Ǹ���������
(\ref{eq:linear_equations})��ɽ������硤$\vm{x}_k$����«����С�ɬ�����β�
$\vm{x}$�˼�«����ΤǤ��롥�̤β�˼�«���뤳�ȤϤʤ������β�˼�«���뤫��ȯ��
���뤫�Τ����줫�Ǥ��롥
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�䥳��ˡ}
%---------------------------------------------------------------------
��������$\vm{A}$���гѹ����ȿ���׻��ι���$\vm{S}$�Ȥ�����Τ��䥳��(Jacobi)ˡ��
���롥���������
%
\begin{equation}
 \left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots  & a_{1n} \\
   a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots  & a_{2n} \\
   a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots  & a_{3n} \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\
   a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots  & a_{nn}
  \end{array}
 \right]=\left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   a_{11} & 0       & 0       & \ldots  & 0      \\
   0       & a_{22} & 0       & \ldots  & 0      \\
   0       & 0       & a_{33} & \ldots  & 0      \\
   \vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots \\
   0       & 0       & 0       & \ldots  & a_{nn}
  \end{array}
 \right]+\left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   0      & a_{12} & a_{13} & \ldots  & a_{1n} \\
   a_{21} & 0      & a_{23} & \ldots  & a_{2n} \\
   a_{31} & a_{32} & 0      & \ldots  & a_{3n} \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\
   a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots  & 0
  \end{array}
       \right]
\end{equation}
%
��ʬ�򤷡�������1�ब����$\vm{S}$����2�ब$-\vm{T}$�Ȥʤ롥$\vm{x}_{k+1}$�β��
�׻���ɬ�פ�$\vm{S}$�εչ���ϡ����줬�гѹ���ʤΤǡ�
%
\begin{equation}
\vm{S}^{-1}=
\left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   a_{11}^{-1} & 0       & 0       & \ldots  & 0       \\
   0       & a_{22}^{-1} & 0       & \ldots  & 0      \\
   0       & 0       & a_{33}^{-1} & \ldots  & 0      \\
   \vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots      \\
   0       & 0       & 0       & \ldots  & a_{nn}^{-1}
  \end{array}
       \right]
\end{equation}
%
�ȴ�ñ�˵��뤳�Ȥ��Ǥ��롥$k+1$���ܤζ�����
$\vm{x}_{k+1}=\vm{S}^{-1}\left(\vm{b}+\vm{T}\vm{x}_k\right)$�Ȥʤ�ʤΤǡ��ưפ�
���뤳�Ȥ��Ǥ��롥�ºݡ�$k$���ܤβ��
%
\begin{align}
  x_1^{(k)},\,x_2^{(k)},\,x_3^{(k)},\,\cdots,\,x_n^{(k)}\nonumber
\end{align}
%
�Ȥ���ȡ�k+1���ܤβ��
%
\begin{align}
 \begin{aligned}
  &x_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left(
  a_{12}x_2^{(k)}+a_{13}x_3^{(k)}+a_{14}x_4^{(k)}+
  \cdots+a_{1n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_2^{(k+1)}=a_{22}^{-1}\left\{b_2-\left(
  a_{21}x_1^{(k)}+a_{23}x_3^{(k)}+a_{24}x_4^{(k)}+
  \cdots+a_{2n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_3^{(k+1)}=a_{33}^{-1}\left\{b_3-\left(
  a_{31}x_1^{(k)}+a_{32}x_2^{(k)}+a_{34}x_4^{(k)}+
  \cdots+a_{3n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &\hspace{30mm}\vdots \\
  %
  &x_n^{(k+1)}=a_{nn}^{-1}\left\{b_n-\left(
  a_{n1}x_1^{(k)}+a_{n2}x_2^{(k)}+a_{n3}x_3^{(k)}+
  \cdots+a_{nn-1}x_{n-1}^{(k)}\right)\right\} \\
 \end{aligned}
\end{align}
%
�ȷ׻��Ǥ��롥����򷫤��֤���ϢΩ�������β�������ˡ�����䥳��ˡ�Ǥ��롥
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�������������ǥ�ˡ}
%---------------------------------------------------------------------
�䥳��ˡ����ħ�Ǥϡ�$\vm{x}^{(k+1)}$�ζ���ͤϡ����٤Ƥ���������$\vm{x}^{(k)}$��
�Ȥ����Ȥˤ��롥�礭�ʹ���򰷤���硤���Ƥ�$\vm{x}^{(k+1)}$��$\vm{x}^{(k)}$��
������ɬ�פ����ꡤ�礭�ʥ��꡼��ɬ�פȤʤ����꤬�����롥���Ǥϡ��Ŀͤ��礭�ʥ�
��꡼��Ȥ��׻����뤳�Ȥϵ�����뤬������ä����ޤǤϤǤ���������꡼������
���ץ�������񤫤ʤ��ƤϤʤ�ʤ��ä���

�����ǡ�$\vm{x}^{(k+1)}$�γ���ʬ�η׻��������ȡ������ľ���˻Ȥ����Ȥ��ͤ��С�
���꡼��Ⱦʬ�ǺѤࡥ¨����$x_i^{k+1}$��׻�����Ȥ��ˡ�
%
\begin{align}
 x_i^{k+1}&=a_{ii}^{-1}\left\{b_i-(
 a_{i1}x_1^{(k+1)}+a_{i2}x_2^{(k+1)}+a_{i3}x_3^{(k+1)}+\cdots+
 a_{ii-1}x_{i-1}^{(k+1)}+\right. \nonumber \\ 
& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
 \left.
 a_{ii+1}x_{i+1}^{(k)}+a_{ii+2}x_{i+2}^{(k)}+a_{ii+3}x_{i+3}^{(k)}+\cdots+
 a_{in}x_n^{(k)})\right\}
\end{align}
%
�Ȥ���ΤǤ��롥�ºݤη׻��Ǥϡ�$k+1$���ܤβ��
%
\begin{align}
 \begin{aligned}
  &x_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left(
  a_{12}x_2^{(k)}+a_{13}x_3^{(k)}+
  a_{14}x_4^{(k)}+\cdots+a_{1n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_2^{(k+1)}=a_{22}^{-1}\left\{b_2-\left(
  a_{21}x_1^{(k+1)}+a_{23}x_3^{(k)}+
  a_{24}x_4^{(k)}+\cdots+a_{2n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_3^{(k+1)}=a_{33}^{-1}\left\{b_3-\left(
  a_{31}x_1^{(k+1)}+a_{32}x_2^{(k+1)}+
  a_{34}x_4^{(k)}+\cdots+a_{3n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &\hspace{30mm}\vdots \\
  %
  &x_n^{(k+1)}=a_{nn}^{-1}\left\{b_n-\left(
  a_{n1}x_1^{(k+1)}+a_{n2}x_2^{(k+1)}+
  a_{n3}x_3^{(k+1)}+\cdots+a_{nn-1}x_{n-1}^{(k+1)}\right)\right\} \\
 \end{aligned}
 \label{eq:Gauss_Seidel}
\end{align}
%
�ȷ׻��Ǥ��롥����򷫤��֤���ϢΩ�������β�������ˡ�����������������ǥ�ˡ�Ǥ��롥
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{SORˡ}
%---------------------------------------------------------------------
�������������ǥ�ˡ���äȲ���������ˡ�����롥�������������ǥ�ˡ�β�ν����ϡ�
$x_{k+1}-x_k$�Ǥ��ä�����������ä��礭�ʥ��ƥåפˤ��褦�Ȥ����ΤǤ��롥�̾�
�ξ�硤�������������ǥ�ˡ�Ǥ϶����Ϥ��Ĥ�Ʊ��¦�ˤ��ꡤñĴ�˼�«���롥���Τ�
�ᡤ������Ŭ���ˤ���С���ä��᤯��˶�Ť����������򡤲�®���¾��$\omega$����
���ơ�$\omega(x_{k+1}-x_k)$�Ȥ�������ͤ���줿�����줬���༡��®����ˡ(SORˡ:
Successive Over-Relaxation)�Ǥ��롥

����Ū�ʷ׻����ϡ����Τ褦�ˤ��롥�����Ǥϡ��������������ǥ�ˡ�μ�
(\ref{eq:Gauss_Seidel})���Ѥ��ơ�����줿������$\tilde{x}_i^{(k+1)}$�Ȥ��Ƥ��롥
%
\begin{align}
 \begin{aligned}
  &\tilde{x}_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left(
  a_{12}x_2^{(k)}+a_{13}x_3^{(k)}+
  a_{14}x_4^{(k)}+\cdots+a_{1n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_1^{(k+1)}=x_1^{(k)}+\omega\left(\tilde{x}_1^{(k+1)}-x_1^{(k)}\right)\\
  %
  &\tilde{x}_2^{(k+1)}=a_{22}^{-1}\left\{b_2-\left(
  a_{21}x_1^{(k+1)}+a_{23}x_3^{(k)}+
  a_{24}x_4^{(k)}+\cdots+a_{2n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_2^{(k+1)}=x_2^{(k)}+\omega\left(\tilde{x}_2^{(k+1)}-x_2^{(k)}\right)\\
  %
  &\tilde{x}_3^{(k+1)}=a_{33}^{-1}\left\{b_3-\left(
  a_{31}x_1^{(k+1)}+a_{32}x_2^{(k+1)}+
  a_{34}x_4^{(k)}+\cdots+a_{3n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_3^{(k+1)}=x_3^{(k)}+\omega\left(\tilde{x}_3^{(k+1)}-x_3^{(k)}\right)\\
  %
  &\hspace{30mm}\vdots \\
  %
  &\tilde{x}_n^{(k+1)}=a_{nn}^{-1}\left\{b_n-\left(
  a_{n1}x_1^{(k+1)}+a_{n2}x_2^{(k+1)}+
  a_{n3}x_3^{(k+1)}+\cdots+a_{nn-1}x_{n-1}^{(k+1)}\right)\right\} \\
  %
  &x_n^{(k+1)}=x_n^{(k)}+\omega\left(\tilde{x}_n^{(k+1)}-x_n^{(k)}\right)\\
  %
 \end{aligned}
 \label{eq:SOR_method}
\end{align}
%
����򷫤��֤���ϢΩ�������β�������ˡ����SORˡ�Ǥ��롥

�����ǡ�����ʤΤ���®���·���$\omega$���ͤ��������Ǥ��롥���餫�ˡ����줬1�ξ�
�硤�������������ǥ�ˡ�Ȥʤ���åȤ�̵�����ޤ���1�ʲ����ȡ��������������ǥ�ˡ
�����«���٤������������������������ǥ�ˡ�Ǽ�«���ʤ��褦������ˤϻȤ��롥

���äơ�1�ʾ���ͤˤ������櫓�Ǥ��뤬��;���礭������ȡ�ȯ������Τ��ܤ˸�����
���롥����ˤĤ��Ƥϡ�2��ۤ����ȯ�����뤳�Ȥ�ʬ���äƤ��롥��Ŭ�ͤȤʤ�ȡ���
������1.9���餤�����Ф�뤳�Ȥ�¿����
%
%=====================================================================
\section{���ˡ}
%=====================================================================
�¸��䥷�ߥ�졼������Ԥ��ȡ�Υ��Ū�˥ǡ�����������Τ����̤Ǥ��롥�㤨�С�
ȾƳ�Τ��Ű����Ű�������¬��Ǥϡ�$(V_0,I_0),\,(V_1,I_1),\,
(V_2,I_2),\,(V_3,I_3),\,\cdots,\,(V_N,I_N)$�Τ褦�ʥǡ����������롥�̾����
�ǡ����ϥ���ղ����Ʋ��Ϥ�ʤ�롥���Υǡ����ξ�硤2�����Υ���վ��¬��������
�֤��Ȥϡ����ޤǳؽ����Ƥ����Ȥ���Ǥ��롥

�¸������̤����������̤�Υ��Ū�Ǥ��뤬���ºݤθ��ݤ�Ϣ³Ū�ʤ��Ȥ�¿��������
Υ��Ū���ͤ��Ѥ��ơ�¬�����δ֤��͡������Ǥ���ή���Ű��δط������Τ����ˡ��
���Ǥ��롥�����ǳؽ������饰��󥸥���֤⥹�ץ饤����֤⡤���ƤΥ���վ��¬
�������̤����������������Ƥ��롥

2�����Υ���վ�����ϡ����ؤǤϺ�ɸ$(x,\,y)$�����Ȥ���Ϳ�����롥�ʹߤ������Ǥϡ�
�Ű�����ή�ʤɤΤ褦�����������ˤȤ���ʤ��褦�����̲�������ɸ$(x,\,y)$����
��ʤ�롥
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�饰��󥸥����}
%---------------------------------------------------------------------
ʿ�̺�ɸ���$N+1$�Ĥ����������硤�������Ƥ������̤������$N$���ؿ���ɽ���뤳��
�ϡ����ؤǳؽ������Ȥ���Ǥ���\footnote{$x$��Ʊ����$y$���ۤʤ�ʣ��������¸�ߤ���
�褦�����̤ʾ��������}��2�Ĥξ�硤1���ؿ������ʤ��ľ���ǡ�����2�����̤�ؿ�
����뤳�Ȥ��Ǥ��롥3���ξ��ϡ�2���ؿ��Ǥ��롥

�������������Ѥ���ȡ�$N+1$�Ĥ����������硤$N$���ؿ�����֤Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롥
�饰��󥸥���֤Ȥϡ��ޤ��ˤ��Τ��Ȥ��Τ�ΤǤ��롥���ؤμ��Ȥǡ�����3��
$(x_0,y_0),\,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2)$���̤�2���ؿ�$y=ax^2+bx+c$ ��$a,b,c$���᤿
���Ȥ�����Ȼפ����������Ʊ���Ǥ��롥�����Ǥϡ����줾���$x$��$y$���ͤ��������ơ�
ϢΩ��������Ĥ���$a,b,c$���᤿�Ϥ��Ǥ��롥

����ԥ塼�������Ѥ��ơ�$N+1$�Ĥ������̤�$N$����������ɽ��$N+1$�Ĥη�����ϢΩ��
������򤯤��Ȥˤ����뤳�Ȥϲ�ǽ�Ǥ��롥���������ǽ���Ū��$N$ ���ؿ����ͤ��
���ȸ�����̣�Ǥ��ԷкѤǤ��롥��֤Ȥ�����Ū���餹��ȡ��ؿ���������뷸���ʤ�
����������̣���оݳ��ʤΤǤ��롥�����ǡ�������ʬ����ʤ��Ƥ⡤$N$���ؿ��򼨤���
�ΤȤ��ơ��饰��󥸥���֤��Ȥ��롥

2������ɸ���$N+1$�Ĥ�����
$(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$�Υ饰��󥸥���֤ϡ�
%
\begin{align}
 \begin{aligned}
  y&=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_N)}
  {(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)\cdots(x_0-x_N)}y_0
  +\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_N)}
  {(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots(x_1-x_N)}y_1\\
  &\qquad+\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)\cdots(x-x_N)}
  {(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots(x_2-x_N)}y_2
  +\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_N)}
  {(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)\cdots(x_3-x_N)}y_3\\
  &\qquad\cdots+\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_N)}
  {(x_k-x_0)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_N)}y_k+\cdots\\
  &\qquad\qquad+\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{N-1})}
  {(x_N-x_0)(x_N-x_1)(x_N-x_2)\cdots(x_N-x_{N-1})}y_N
 \end{aligned}
 \label{eq:lagrange_interpolating_polynomial_1}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥

���μ�(\ref{eq:lagrange_interpolating_polynomial_1})�򸫤�ȡ�
%
\begin{itemize}
 \item{�ƹ��ʬ�������ǡ�ʬ�Ҥ�N���ؿ��Ǥ��롥���Τ��Ȥ��顤���Ƥι��N���ؿ�
      �ˤʤäƤ��뤳�Ȥ�����Ǥ��롥�������äơ����μ���N���ؿ�(N��¿�༰)�Ǥ��롥}
 \item{$x$��$x_0,x_1,x_2,\cdots,y_N$����������ȡ�$y$���ͤ�
      $y_0,y_1,y_1,\cdots,x_N$�ˤʤ뤳�Ȥ�ʬ���롥����ϡ��ǡ�����
      $(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$�����Ƥ�
      �̲ᤷ�Ƥ��뤳�Ȥ򼨤��Ƥ��롥}
\end{itemize}
%
�ȤʤäƤ��롥

��
(\ref{eq:lagrange_interpolating_polynomial_1})��⤦����äȳʹ��ɤ��񤱤С�
%
\begin{align}
  L(x)=\sum_{k=0}^{N}L_k(x)y_k
\end{align}
��������
\begin{align}
 L_k(x)
 &=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_N)}
  {(x_k-x_0)(x_k-x_1)(x_k-x_2)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_N)}\nonumber \\
 &=\frac{x-x_0}{x_k-x_0}\times\frac{x-x_1}{x_k-x_1}\times\frac{x-x_2}{x_k-x_2}\times\cdots\times\frac{x-x_{k-1}}{x_k-x_{k-1}}\times\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}\times\cdots\frac{x-x_N}{x_k-x_N}\nonumber \\
 &=\prod_{j=0}^{N(j\neq k)}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥

�饰��󥸥���֤ιͤ�����ñ��ǡ����η׻����ñ�Ǥ��롥����������֤�����������
�Ƥ���ȡ��饰��󥸥����֤ˤ����꤬�����롥�饰��󥸥����֤Ǥϡ���֤�����
�������Ƥ�����礭�ʿ�ư��ȯ�����ơ���Ϥ���֤Ȥϸ����ʤ��ʤ롥�饰��󥸥����
�֤ˤϾ�ˤ������꤬�դ��ޤ��Τǡ��ǡ���������¿�����ϻȤ��ʤ��ʤ롥
%
%---------------------------------------------------------------
\subsection{���ץ饤�����}
%---------------------------------------------------------------
%-------------------------
\subsubsection{��ʬ¿�༰}
%-------------------------
�饰��󥸥����֤ϡ��ǡ��������������Ƥ���ȴؿ�����ư�����꤬ȯ�����롥�����ǡ�
��֤����ΰ��ǡ����ֳ�$[x_i,x_{i+1}]$�˶��ڤꡤ���ζ�˵���ͤ�Ȥ��㼡��¿�༰
�Ƕ�����뤳�Ȥ�ͤ��롥��ʬŪ�ʴؿ���Ȥ����Ȥˤʤ뤬�����˶���򤷤ʤ��ȶ���
�Ǥ���Ƴ�ؿ�����Ϣ³�ˤʤ롥Ƴ�ؿ���Ϣ³�ˤʤ�褦�ˡ����˶��������ˡ�����ץ�
�������(spline interpolation)�Ǥ��롥

��֤򤹤�ǡ����ϡ����Ʊ���褦��
$(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$�Ȥ��롥����
�ơ����$[x_j,x_{j+1}]$����֤򤹤�ؿ���$S_j(x)$�Ȥ��롥�����ͻҤ�
��\ref{fig:spline�ζ�ʬ}�˼�����
%
\begin{figure}[hbpt]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio,scale=0.7]{figure/Spline.eps}
  \caption{���ץ饤����֤ζ�ʬ}
  \label{fig:spline�ζ�ʬ}
 \end{center}
\end{figure}
%

%-----------------------------
\subsubsection{��������������}
%-----------------------------
3���Υ��ץ饤����֤�ͤ���Τǡ�
%
\begin{align}
 S_j(x)=a_j(x-x_j)^3+b_j(x-x_j)^2+c_j(x-x_j)+d_j \qquad(j=0,1,2,3,\cdots,N-1)
 \label{eq:def_Spline_sj}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥���ץ饤����֤�Ԥ���硤����$a_j, b_j, c_j, d_j$����뤳�Ȥ�����ʺ�
�ȤǤ��롥

������4$N$�Ĥ�̤�ο�����뤿��ˤϡ�$4N$�Ĥ���������ɬ�פǤ��롥���Τ���ˡ�
3���Υ��ץ饤����֤˰ʲ��ξ���ݤ����Ȥˤ��롥
%
\begin{itemize}
 \item{���ƤΥǡ��������̤롥�ơ���$S_j(x)$���Ф���ξü�Ǥ��ͤ���ޤ�
      ���ᡤ2$N$�Ĥ����������Ǥ��롥}
 \item{�ơ��ζ�ʬ��ּ��ϡ���������1��Ƴ�ؿ���Ϣ³�Ȥ��롥����ˤ�ꡤ
      $N-1$�Ĥ����������Ǥ��롥}
 \item{�ơ��ζ�ʬ��ּ��ϡ���������2��Ƴ�ؿ���Ϣ³�Ȥ��롥����ˤ�ꡤ
      $N-1$�Ĥ����������Ǥ��롥}
\end{itemize}
%

�ʾ�ξ���ݤ���$4N-2$�Ĥ�����������ޤ롥̤�ο���4$N$�ĤʤΤǡ�2������������
­���Ƥ��롥������­���䤦����ˡ����������ʾ�郎�ͤ����뤬���̾��ξü$x_0$
��$x_N$�Ǥ�2��Ƴ�ؿ����ͤ�0�Ȥ��롥���ʤ����
$S_0^{\prime\prime}(x_0)=S_{N-1}^{\prime\prime}(x_N)=0$�Ǥ��롥����������ץ�
����(natural spline)�ȸ������������ץ饤��ʳ��ˤϡ�ξü��1��Ƴ�ؿ����ͤ���ꤹ
���Τ⤢�롥

��������Ƥξ�郎��ޤä������Ȥϡ����ξ���������ϢΩ���������������Ǥ��롥
%
%=====================================================================
\section{������ʬ}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�������}
%---------------------------------------------------------------------
����ʬ��
%
\begin{align}
 S=\int_a^bf(x)dx
\end{align}
%
�ζ���ͤ���ͷ׻��ǵ��뤳�Ȥ�ͤ��롥��ʬ�η׻������Ѥη׻��Ǥ��뤫�顤��
\ref{fig:trapezoidal_rule}�Τ褦����������Ѥ��¤Ƕ�����Ǥ���Ǥ���������ʬ����
��$[a,b]$��$N$��ʬ��������Ƕ����������T�ϡ�
%
\begin{align}
 \begin{aligned}
  T&=h\frac{f(a)+f(a+h)}{2}+
     h\frac{f(a+h)+f(a+2h)}{2}+
     h\frac{f(a+2h)+f(a+3h)}{2}+\cdots\\
     &\hspace*{85mm} +h\frac{f(a+(N-1)h)+f(a+Nh)}{2}\\
  &=\frac{h}{2}\sum_{j=0}^{N-1}\left[f(a+jh)+f(a+(j+1)h)\right]
 \end{aligned}
\label{eq:�������}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥���줬������ʬ����������Ǥ��롥�ʤ�Τ��ȤϤʤ�����ʬ����������Ѥ��֤�
�����Ƥ�������Ǥ��롥
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/trapezoidal.eps}
  \caption{��ʬ����������Ѥ����}
  \label{fig:trapezoidal_rule}
 \end{center}
\end{figure}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{����ץ���θ���}
%---------------------------------------------------------------------
��������ιͤ����ϴ�ñ�Ǥ��뤬�����٤Ϥ��ޤ�褯�ʤ��������ǡ��褯�����ͤ�������
�٤��ɤ�����ץ���θ������������롥��������ϡ�ʬ�������ͤ�켡�ؿ�(ľ��)�Ƕ��
��Ԥ���ʬ��Ԥä����פ�����ޤ�������Ǥ��롥�����ǡ�1���ؿ��ǤϤʤ����⼡�δ�
���Ƕ����Ԥ��Ф�����٤��夬�뤳�Ȥϡ�ľ��Ū��ʬ���롥

2���ؿ��Ƕ����Ԥ����Ȥ�ͤ��롥2���ؿ��Ƕ�����뤿��ˤϡ�3��ɬ�פǤ��롥3�Ĥ�
ʬ���򤽤줾�졤$(x_j,\,x_{j+1},\,x_{j+2})$�Ȥ��롥�����ơ�����2���ؿ���$P(x)$��
���롥$P(x)$�ϥ饰��󥸥���֤�¾�ʤ�ʤ��Τǡ�
%
\begin{align}
 P(x)&=\frac{(x-x_{j+1})(x-x_{j+2})}{(x_j-x_{j+1})(x_j-x_{j+2})}f(x_j)
 +\frac{(x-x_j)(x-x_{j+2})}{(x_{j+1}-x_j)(x_{j+1}-x_{j+2})}f(x_{j+1})
 \nonumber\\
 &\hspace{60mm}
 +\frac{(x-x_j)(x-x_{j+1})}{(x_{j+2}-x_j)(x_{j+2}-x_{j+1})}f(x_{j+2})
 \label{eq:simpson_parabora_approx}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥��\ref{fig:simpson_rule}�˼����Ȥ���Ǥ��롥
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/simpson.eps}
  \caption{���δؿ�����$[x_j,x_{j+2}]$��2���ؿ��Ƕ������}
  \label{fig:simpson_rule}
 \end{center}
\end{figure}
%

����򡤶��$[x_j,\,x_{j+2}]$����ʬ���롥���̤��Թ�塤��
(\ref{eq:simpson_parabora_approx})�α��դ�ƹ������ʬ��Ԥ����ޤ���������1���
���뤬������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ롥
%
\begin{align}
 \begin{aligned}
 \text{��(\ref{eq:simpson_parabora_approx})������1�����ʬ}
  &=\int_{x_j}^{x_{j+2}}
  \frac{(x-x_{j+1})(x-x_{j+2})}{(x_j-x_{j+1})(x_j-x_{j+2})}f(x_j)dx\\
  %
  &=\int_0^{2h}
  \frac{(x_j+\xi-x_{j+1})(x_j+\xi-x_{j+2})}{(x_j-x_{j+1})(x_j-x_{j+2})}f(x_j)d\xi\\
  %
  &=\int_0^{2h}\frac{(\xi-h)(\xi-2h)}{(-h)(-2h)}f(x_j)d\xi\\
  &=\frac{f(x_j)}{2h^2}\int_0^{2h}\left(\xi^2-3h\xi+2h^2\right)d\xi\\
  &=\frac{f(x_j)}{2h^2}
  \left[\frac{\xi^3}{3}-3h\frac{\xi^2}{2}+2h^2\xi\right]_0^{2h}\\
  &=\frac{h}{3}f(x_j)
 \end{aligned}
 \label{eq:simpson_1st_term}
\end{align}
%
Ʊ�ͤˡ���2,3���׻������
%
\begin{align}
 \text{��(\ref{eq:simpson_parabora_approx})������2�����ʬ}
  &=\frac{4h}{3}f(x_{j+1})\\
 \text{��(\ref{eq:simpson_parabora_approx})������3�����ʬ}
  &=\frac{h}{3}f(x_{j+2})
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�ʾ��ꡤ�������2���ؿ�$P(x)$���ϰ�$[x_j,\,x_{j+2}]$����ʬ�ϡ�
%
\begin{align}
 \int_{x_j}^{x_{j+2}}P(x)dx
 =\frac{h}{3}\left\{f(x_j)+4f(x_{j+1})+f(x_{j+2})\right\}
 \label{eq:simpson_2h}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥
%

����ϡ�������$[x_j,\,x_{j+2}]$����ʬ�ǡ����ζҤ�$2h$�Ǥ��롥���$[a,\,b]$�ˤ�
���äƤ���ʬ$S$�ϡ���(\ref{eq:simpson_2h})��­����碌��Ф褤����������
$j=0,2,4,6$��­����碌�롥
%
\begin{align}
 \begin{aligned}
  S&=\frac{h}{3}\left\{f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right\}
  +\frac{h}{3}\left\{f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\right\}
  +\frac{h}{3}\left\{f(x_4)+4f(x_5)+f(x_6)\right\}+\cdots\\
  &\hspace*{70mm}\cdots+
  \frac{h}{3}\left\{f(x_{N-2})+4f(x_{N-1})+f(x_{N})\right\}\\
  %
  &=\frac{h}{3}\left\{f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)
  +2f(x_4)+4f(x_5)+2f(x_6)+\cdots\right.\\
  &
\hspace*{70mm}\left.\cdots+2f(x_{N-2})+4f(x_{N-1})+f(x_N)\right\}
 \end{aligned}
\end{align}
%
���줬������ץ���θ����ȸƤФ���Τǡ���ۤɤ���������������٤��ɤ�������
�ϡ�$N^4$��ȿ���㤹�롥

���μ����顤ʬ���$N$�϶����Ǥʤ��ƤϤʤ�ʤ����Ȥ��狼�롥
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{���ƥ����ˡ}
%---------------------------------------------------------------------
��ʬ�ζ�����ʣ���ʾ�硤�����Ȥ����ƥ������ʬ��Ŭ���Ƥ��롥�㤨�С��ؿ�
$f(x_1,x_2,x_3,\cdot,x_M)$��������ʬ��ͤ��롥����������ʬ��
%
\begin{align}
 \int_\Omega f(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_M)dx_1dx_2dx_3\cdots dx_M=
 V_{\Omega}\langle f \rangle
 \label{eq:int_f_dx1_dxM}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����ǡ�$V$��M�����Τ��ΰ�$\Omega$�����ѡ�$\langle f \rangle$�Ϥ�������
�δؿ���ʿ���ͤǤ��롥�����3�����Τμ��̤�ͤ���ȴ�ñ�Ǥ��롥���μ��̤ϡ�̩��
��������ʬ�Ȥʤ롥��������Ѥ�ʿ��̩�٤�褸���ͤ������������������μ��Ǥ��롥��
�Τ��Ȥ��顤��(\ref{eq:int_f_dx1_dxM})����ʬ���ͤ��ߤ�����С����Ѥ�ʿ���ͤ�ʬ��
��Ф褤���Ȥˤʤ롥

��ʬ��׻����뤿��ˡ��ޤ������ѤǤ��롥��������Ѥη׻����ưפ�ñ��ʷ���������
�ˡ��ΰ�$\Omega$����߹��ߡ����������˥���������֤��줿����ץ����ο��������
���ɤ��ΤǤ��롥ñ��ʷ������������֤��줿����������ο���$N$�Ȥ��롥�����ơ�
���������ˤ�����ʬ�ΰ�$\Omega$�˴ޤޤ�����ο���$N_{\Omega}$�Ȥ��롥����ˡ�ñ��
�ʷ��������Ѥ�$V_r$���ΰ�$\Omega$�Τ����$V_{\Omega}$�Ȥ���ȡ�
%
\begin{align}
 V_{\Omega}\simeq\frac{N_{\Omega}}{N}V_r
\end{align}
%
�δط������롥���դϥ���ԥ塼�����ˤ���ưפ˷׻��Ǥ��롥����������ο�$N$��
¿���ʤ�Фʤ�ۤɡ���������٤��ɤ��ʤ롥

�Ĥ�ϡ�����������ʿ��$\langle f \rangle$�Ǥ��롥������ñ�ǡ��ΰ�$\Omega$����
�ˤ��륵��ץ�����ʿ�Ѥ����뤳�Ȥ��Ǥ��롥¨����
%
\begin{align}
 \langle f \rangle\simeq\frac{1}{N_{\Omega}}\sum_i f(\vm{r}_i)
 \qquad\text{�ΰ�$\Omega$�������Τ�}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����ǡ�$\vm{r}_i$��$i$���ܤΥ���ץ�����$(x_1,x_2,x_3,\cdot,x_M)$��ɸ��
���롥�ޤ���$N_{\Omega}$���ΰ������Υ���ץ���Ǥ��롥���η׻����ñ�ǡ�����ԥ塼����
����ʤ���ʿ���ͤζ���ͤ�׻����뤳�Ȥ��Ǥ��롥

�ʾ��ꡤ���ƥ����ˡ���Ѥ���ȡ�����$V$��ʿ����$\langle f \rangle$�ζ���ͤ�
�׻��Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롥���äơ���(\ref{eq:int_f_dx1_dxM})�ζ���ͤ���뤳�Ȥ�
�Ǥ��롥
%
%=====================================================================
\section{��ʬˡ�ˤ������ʬ�������ο��ͷ׻�}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��ץ饹������}
%---------------------------------------------------------------------
2�����Υ�ץ饹������
%
\begin{align}
 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+
 \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0
 \label{eq:2D_Laplace}
\end{align}
%
����ͷפǲ򤯤��Ȥ�ͤ��롥�ޤ��ϡ����Ĥ�Τ褦�ˡ���$\phi(x,y)$��ƥ��顼Ÿ��
���롥x����ӡ�y�����������Ѱ�$\pm h$�����ä���硤
%
\begin{align}
 \phi(x+h,y)&=\phi(x,y)
 +\frac{\partial\phi}{\partial x}h
 +\frac{1}{2!}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}h^2
 +\frac{1}{3!}\frac{\partial^3\phi}{\partial x^3}h^3
 +\frac{1}{4!}\frac{\partial^4\phi}{\partial x^4}h^4
 +\cdots\\
 \phi(x-h,y)&=\phi(x,y)
 -\frac{\partial\phi}{\partial x}h
 +\frac{1}{2!}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}h^2
 -\frac{1}{3!}\frac{\partial^3\phi}{\partial x^3}h^3
 +\frac{1}{4!}\frac{\partial^4\phi}{\partial x^4}h^4
 -\cdots
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����μ����ա���­����碌����ȡ�
%
\begin{align}
 \left.\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\right|_{x,y}
 &=\frac{1}{h^2}\left[
 \phi(x+h,y)-2\phi(x,y)+\phi(x-h,y)\right]-O(h^2)
 \label{eq:approx_d2fdx2}
\end{align}
%
�������롥���Τ��Ȥ��顤2������Ƴ�ؿ����ͤ������Ѱ�$h$�ξ��δؿ����ͤ��Ѥ��ơ�
$h^2$�����٤Ƕ���׻����Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롥���ʤ������(\ref{eq:approx_d2fdx2})
��$O(h^2)$����������դ�׻�����Ф褤�ΤǤ��롥Ʊ�����Ȥ�y�����ˤĤ��Ƥ�Ԥ���
%
\begin{align}
 \left.\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\right|_{x,y}
 &=\frac{1}{h^2}\left[
 \phi(x,y+h)-2\phi(x,y)+\phi(x,y-h)\right]-O(h^2)
 \label{eq:approx_d2fdy2}
\end{align}
%
�������롥

�����μ�(\ref{eq:approx_d2fdx2})��(\ref{eq:approx_d2fdy2})�򸵤�2������ץ饹
������(\ref{eq:2D_Laplace})����������С�
%
\begin{align}
 \phi(x+h,y)+\phi(x-h,y)+\phi(x,y+h)+\phi(x,y-h)-4\phi(x,y)=0
 \label{eq:sabun}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥���줬��2������ץ饹�������κ�ʬ�μ��Ǥ��롥���μ���į���ȡ���ɸ
$(x,y)$�Υݥƥ󥷥�����$\phi(x,y)$�ϡ�������ͤ�ʿ�ѤǤ��뤳�Ȥ��狼�롥

�ºݤˤ��μ�����ͷ׻������硤�׻��ΰ��ֳ�$h$�ǳʻҾ�\footnote {���γʻҤΤ�
�Ȥ��å���(mesh)�ȸ������⤢�롥}�˶��ڤꡤ���θ����Ǥ��ͤ���뤳�Ȥˤʤ롥
�����Ǥϡ�x�����y�����ˤ����ֳ�$h$ �Ƕ��ڤ�׻���ʤ�뤬�����ֳ֤Ǥ���ɬ�פϤ�
����¿������(\ref{eq:sabun}) �ϰۤʤ뤬Ʊ���褦�ʷ׻��ϲ�ǽ�Ǥ��롥����ޤǤ���
��������Ǥ��Ƥ���С�x��y�����δֳ֤��ۤʤäƤ⡤��(\ref{eq:sabun})���б����뺹
ʬ�μ�������Ϥ��Ǥ��롥

�ºݡ����ͷ׻��򤹤��硤$\phi(x,y)$��$\phi(x+h,y)$�η������ؤʤΤǡ����������
�롥�Ƴʻ����ǤΥݥƥ󥷥���
%
\begin{align}
 \begin{aligned}
  \phi(x,y)&=\phi(ih,jh)\\
  &=U_{i\,j}
 \end{aligned}
\end{align}
%
�Ȥ��롥���Τ褦�ˤ���ȡ���(\ref{eq:sabun})��
%
\begin{align}
 U_{i+1\,j}+U_{i-1\,j}+U_{i\,j+1}+U_{i,j-1}-4U_{i\,j}=0
 \label{eq:sabun_U}
\end{align}
%
�Ȥʤꡤ���ͷ׻����פ����ˤʤ롥

��ץ饹�������ϼ�(\ref{eq:sabun_U})��ϢΩ��������򤯤����Ǥ��롥�ʻҤ��ΰ��ʬ
�䤹�뤳�Ȥˤ�ꡤ�񤷤�������ʬ��������ϢΩ�������˴Ը����줿�櫓�Ǥ��롥

ϢΩ��������򤯤櫓�Ǥ��뤬�����ΤޤޤǤϡ����ο���̤�ο��ο����ۤʤ롥�ʻ�����
�Υݥƥ󥷥����ͤ���뤿��ˤϡ������������ꤹ��ɬ�פ����롥����ˤ�ꡤ��
�ο���̤�ο��ο���Ʊ��ˤʤꡤ�ʻ����ǤΥݥƥ󥷥�����뤳�Ȥ��Ǥ��롥
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��ư������}
%---------------------------------------------------------------------
����Ĺ����1��������������Ȥ�®�٤�1�Ȥ��ơ����β��Ȥ��ͻҤ���ͷ׻��ǲ򤯤��Ȥ�
�ͤ��롥1������ư����������ͷפǲ򤯤��Ȥ�ͤ��롥�׻��˰ܤ����ˡ��򤯤٤�����
���Ⱦ��򤭤���Ƚ񤤤Ƥ������򤯤٤��������Ⱦ��ϡ�
%
\begin{align}
 \left\{
  \begin{aligned}
   %
   &\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=
   \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} & &
   (0\leqq x \leqq 1,\quad 0\leqq t)\\
   %
   &u(x,0)=\phi(x), \qquad\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x) & &
   (0\leqq x \leqq 1)\\
   %
   &u(0,t)=u(1,t)=0
   %
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:wave_initial_boundary}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥����������Ȥ�®�٤�1������Ĺ����1�Ȥ��Ƥ��롥���κǽ�μ�����ư��������
���뤬��2���ܤ�����3���ܤ򶭳����ȸ�����

��ư��������¾�ˡ�������ȶ�����郎���롥�ϳ�Ū���֤ϡ������������Ǥ�
$t=0$�λ����Ѱ̤Ȥ����Ѱ̤�®�٤���ޤ�С�����ʹߤ���뤳�Ȥ��Ǥ��롥��ư��
���ϡ�����˲ä��ƹ��ˡ���ư�ζ����������ɬ�פ����롥����餬��ޤäƽ��
�ơ���ư�������ȤȤ�ˡ���ư�ξ��֡��������Ȱ��֤��Ѱ̤��ͤ���ޤ�櫓�Ǥ��롥
��\ref{fig:gen}�˽�����ȶ��������ͻҤ򼨤���
%
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=0.85]{figure/wave_init.eps}
  \caption{����$t=0$�ΤȤ��θ����ͻ�(���ʥåץ���å�)��������ȶ���
  ��郎ɽ����Ƥ��ꡤy������®�٤�$\psi(x)$�ˤʤäƤ��롥}
  \label{fig:gen}
 \end{center}
\end{figure}
%

�ޤ��ϡ���ư��������ʬ�������˽�ľ�����Ȥ���Ϥ���롥����⡤���Ĥ�Τ褦�ˡ�
��$u(x,t)$��ƥ��顼Ÿ�����롥x�����������Ѱ̤�$\Delta x$�����ּ������������Ѱ�
��$\Delta t$�Ȥ��롥����ȡ�
%
\begin{align}
 \begin{aligned}
  u(x+\Delta x,t)&=u(x,t)
  +\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x
  +\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(\Delta x)^2
  +\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}(\Delta x)^3
  +\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\Delta x)^4
  +\cdots\\
  %
  u(x-\Delta x,t)&=u(x,t)
  -\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x
  +\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(\Delta x)^2
  -\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}(\Delta x)^3
  +\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\Delta x)^4
  -\cdots
 \end{aligned}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����μ����ա���­����碌����ȡ�
%
\begin{align}
 \left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_{x,t}
 &=\frac{1}{\Delta x^2}\left[
 u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)\right]-O(\Delta x^2)
 \label{eq:approx_d2udx2}
\end{align}
%
�������롥���Τ��Ȥ��顤2������Ƴ�ؿ����ͤ������Ѱ�$\Delta x$�ξ��δؿ���
�ͤ��Ѥ��ơ�$(\Delta x)^2$�����٤Ƕ���׻����Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롥���ʤ������(
\ref{eq:approx_d2udx2})�α��դ���1���׻�����Ф褤�ΤǤ��롥��ץ饹
��������Ʊ���Ǥ��롥Ʊ�ͤʤ��Ȥ���ּ������ˤĤ��Ƥ�Ԥ���
%
\begin{align}
 \left.\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_{x,t}
 &=\frac{1}{\Delta t^2}\left[
 u(x,t+\Delta t)-2u(x,t)+u(x,t-\Delta t)\right]-O(\Delta t^2)
 \label{eq:approx_d2udt2}
\end{align}
%
�������롥

�����μ�(\ref{eq:approx_d2udx2})��(\ref{eq:approx_d2udt2})�򸵤���ư
������(\ref{eq:wave_initial_boundary})����������С�
%
\begin{align}
 \frac{1}{\Delta x^2}\left[u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)\right]=
 \frac{1}{\Delta t^2}\left[u(x,t+\Delta t)-2u(x,t)+u(x,t-\Delta t)\right]
 \label{eq:sabun_0}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥���줬��1������ư�������κ�ʬ�μ��Ǥ��롥���μ���׻����פ���
���ˡ��⤦�����ѷ�����ȡ�
%
\begin{align}
u(x,t+\Delta t)=
 2u(x,t)-u(x,t-\Delta t)+
 \frac{\Delta t^2}{\Delta x^2}\left[
 u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,y)
 \right] 
 \label{eq:sabun_wave}
\end{align}
%
�Ȥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥���μ��α��դϡ�����$t$��$t-\Delta t$���ͤǤǤ��롥
�����ơ����դϻ���$t+\Delta t$���ͤǤ��롥���Τ��Ȥ��顤��
(\ref{eq:sabun_wave})���Ѥ���ȡ�����$t$��$t-\Delta t$���ͤ��顤$t+\Delta
t$ ���ͤ��׻��Ǥ��뤳�Ȥˤʤ롥

�ºݤ˼�(\ref{eq:sabun_wave})����ͷ׻������硤x�����ˤ�$\Delta x$������
�������ˤ�$\Delta t$���ʬ�䤹�롥��ץ饹��������ʻ�����ʬ�䤷���Τ�
Ʊ���Ǥ��롥�ʻ�����ʬ�䤷���ͷ׻������硤$u(x,t)$��$u(x+\Delta x,y)$��ɽ������
���ϡ�$u_{i\,j}$��ɽ�������ۤ��������Ǥ��롥�����ǡ�
%
\begin{align}
 \begin{aligned}
  u(x,t)&=\phi(i\Delta x,j\Delta t)\\
  &=u_{i\,j}
 \end{aligned}
\end{align}
%
��ɽ�������롥���Τ褦�ˤ���ȡ���(\ref{eq:sabun_wave})��
%
\begin{align}
 u_{i\,j+1}=
 2u_{i\,j}-u_{i\,j-1}+
 \alpha\left(u_{i+1\,j}-2u_{i\,j}+u_{i-1\,j}\right)
 \label{eq:sabun_u}
\end{align}
%
�Ȥʤꡤ���ͷ׻����פ����ˤʤ롥��������
%
\begin{align}
 \alpha = \frac{\Delta t^2}{\Delta x^2}
\end{align}
%
�Ǥ��롥
%
%=====================================================================
%
\end{document}



