%=====================================================================
% ���Ĺ��� 5E �׻������ѥƥ�����
% ����ʬ��������ϢΩ�������ΤޤȤ�(�����ֻ�˸�����)
% last updated 2005.11.24
%    created by  Masashi Yamamoto
%     e-mail yamamoto@akita-nct.jp
%=====================================================================
\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,float,wrapfloat,multicol}
\oddsidemargin 0mm  %����;�� 25.4mm-0mm������ڡ���
\evensidemargin 0mm %����;�� 25.4mm-0mm�������ڡ���
\textwidth 160mm
%
\newcommand{\tw}[1]{��\texttt{#1}��}
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
%
%
\begin{document}
\title{����ʬ��������ϢΩ�������ΤޤȤ�(�����ֻ�˸�����)}
\date{2005ǯ11��25��}
\author{���ܾ���\thanks{��Ω���Ĺ��ȹ�������ع����ŵ����ز�}}
\maketitle
%
%
%=====================================================================
\section{����ʬ�������ο��ͷ׻�ˡ}
%=====================================================================
���ͷ׻��ˤ�ꡢ�����������ʬ�������ϡ�
%
\begin{alignat}{3}
 &\frac{dy}{dx}=f(x,y) & \hspace{10mm} &������ & \hspace{3mm}
 &y(a)=b \label{eq:should_be_solved_eq_with_init}
\end{alignat}
%
�Ǥ��롣���������Ȥ���Ϳ����졢���μ��˽���$x$��$y$�δط���׻����롣
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{4���Υ�󥲡����å�ˡ}
%---------------------------------------------------------------------
��������ǽ��ꤷ�������顼ˡ��2���Υ�󥲡����å�ˡ�ϡ��ѥ�᡼���������䤷��
������μ�����夲�Ƥ�����ˡ�Ǥ��롥������ˡ�Ǻ��ɤȸ�����Τ�4���Υ�󥲡�����
��ˡ�Ǥ��롣�ѥ�᡼���������䤷�ơ�5, 6, 7, $\cdots$�ȸ�����򾮤������뤳�Ȥ�
��ǽ�Ǥ��뤬��Ʊ���׻��̤Ǥ����4���Υ�󥲡����å��ι�����򾮤�������ۤ�����
�٤��ɤ��ȸ����Ƥ��롣

�Ȥ������Ȥǡ������󤬾���ʬ��������׻�����ɬ�פ��������Ȥ��ϡ����ϤȤ⤢��4��
�Υ�󥲡����å��Ƿ׻����٤��Ǥ��롣���̤βʳؤ˷Ȥ��ͤˤȤäơ�4���Υ�󥲡�
���å��Ͼ���ʬ�������κǽ�ǺǸ�β�ˡ�Ǥ��롣

4���Υ�󥲡����å��θ����ϡ���(\ref{eq:RK4����})�˼����̤�Ǥ��롣����
�ơ�����Ͽ�\ref{fig:RK4}�Τ褦��ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   k_1&=hf(x_n,y_n)\\
   k_2&=hf(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2})\\
   k_3&=hf(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2})\\
   k_4&=hf(x_n+h,y_n+k_3)\\
   x_{n+1}&=x_n+h\\
   y_{n+1}&=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:RK4����}
\end{equation}
%
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/diff_eq/RK4.eps}
 \end{center}
 \caption{4���Υ�󥲡����å�ˡ�������֤Ǥ�$y$���Ѳ�$\Delta y$�ϡ���
 �����4���η����Τ����βý�ʿ�Ѥ���$\Delta x$��褸�ơ����Ƥ��롣}
 \label{fig:RK4}
\end{figure}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�ץ������(4���Υ�󥲡����å�ˡ)}
%---------------------------------------------------------------------
�ºݤ���ʬ������
%
\begin{equation}
 \left\{ \\
  \begin{aligned}
   &\frac{dy}{dx}=\sin x \cos x -y\cos x\\
   &y=0\quad(������ x=0�λ�)
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:ex1_diff}
\end{equation}
%
��4���Υ�󥲡����å�ˡ�Ƿ׻�����ץ������򼨤����׻���̤ϡ�����\tw{x[]}��
\tw{y[]}�˳�Ǽ����롣�ºݤ˥ץ������Ǥϡ����η�̤����Ѥ��ƥ���դˤ����ꤹ��
�ΤǤ��뤬�������ǤϷ׻��ΤߤȤ��롣
%
\begin{quote}
 \setlength{\baselineskip}{12pt}
 \begin{verbatim}
	#include <stdio.h>
	#include <math.h>
	#define IMAX 100001
	double func(double x, double y);

	/*================================================================*/
	/*       main function                                            */
	/*================================================================*/
	int main(void){
	  double x[IMAX], y[IMAX];
	  double final_x, h;
	  double k1, k2, k3, k4;
	  int ncal, i;


	  /*--- set initial condition and cal range ---*/

	  x[0]=0.0;
	  y[0]=0.0;

	  final_x=10.0;
	  ncal=10000; 

	  /* --- size of calculation step --- */

	  h=(final_x-x[0])/ncal;

 	
	  /* --- 4th Runge Kutta Calculation --- */

	  for(i=0; i < ncal; i++){
	    k1=h*func(x[i],y[i]);
	    k2=h*func(x[i]+h/2.0, y[i]+k1/2.0);
	    k3=h*func(x[i]+h/2.0, y[i]+k2/2.0);
	    k4=h*func(x[i]+h, y[i]+k3);

	    x[i+1]=x[i]+h;
	    y[i+1]=y[i]+1.0/6.0*(k1+2.0*k2+2.0*k3+k4);
	  }


	  return 0;
	}


	/*================================================================*/
	/*       define function                                          */
	/*================================================================*/
	double func(double x, double y){
	  double dydx;

	  dydx=sin(x)*cos(x)-y*cos(x);

	  return(dydx);
	}
 \end{verbatim}
\end{quote}
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�ⳬ�ξ���ʬ������}
%---------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------
\subsubsection{1����ϢΩ��ʬ���������Ѵ�}
%-------------------------------------
�����ޤǼ�������ˡ�ϡ�1���ξ���ʬ������������갷���ʤ��Τ����ؤǤ��롣�����ǡ�
�ⳬ�ξ���ʬ��������1����ϢΩ��ʬ��������ľ����ˡ�򼨤����פ���ˡ��ⳬ�ξ���ʬ
��������ϢΩ1������ʬ��������ľ����4���Υ�󥲡����å�ˡ��Ŭ�Ѥ�����ɤ��ΤǤ��롣
�㤨�С����Τ褦��3���ξ���ʬ�����������ä����롣
%
\begin{align}
 y^{\prime\prime\prime}(x)=f(x,y,y^{\prime},y^{\prime\prime})
 \label{eq:3���ξ���ʬ������}
\end{align}
%
����3������ʬ�������򼡤˼��������Ѥ����Ѵ����롣
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   y_0(x)&=y(x)\\
   y_1(x)&=y^{\prime}(x)\\
   y_2(x)&=y^{\prime\prime}(x)
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:3���ξ���ʬ���������Ѵ���} 
\end{equation}
%
���μ����Ѥ��ơ���(\ref{eq:3���ξ���ʬ������})���ľ����
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   y_0^{\prime}(x)&=y_1(x)\\
   y_1^{\prime}(x)&=y_2(x)\\
   y_2^{\prime}(x)&=f(x,y_0,y_1,y_2)
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:3��1��ϢΩ����ʬ������}
\end{equation}
%
�Ȥʤ롣����ǡ�3���ξ���ʬ��������3����1����ϢΩ����ʬ���������Ѵ��Ǥ�����2����
��������4��$\cdots$�Ǥ�Ʊ����ˡ��ϢΩ��ʬ�������˴Ը��Ǥ��롣
%
%----------------------
\subsubsection{��������}
%----------------------
�ʲ��ι⼡����ʬ��������ϢΩ1����ʬ�������˽񤭴����ʤ�����
%
\begin{alignat*}{4}
 &(1)&\hspace{2mm}&y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+5y=0&\hspace{30mm}&(2)&\hspace{2mm}&y^{\prime\prime}+6y^{\prime}+y=0\\
 &(3)& &5y^{\prime\prime}+2xy^{\prime}+3y=0& &(4)& &y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}+xy=0\\
 &(5)& &5y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=\sin(\omega x)& &(6)& &xy^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=e^{x}\\
 &(7)& &5y^{\prime\prime}y^{\prime}+y^{\prime}+y=0& &(8)& &y^{\prime\prime}y^{\prime}+x^2y^{\prime}y+y=0
\end{alignat*}
%
%=====================================================================
\section{ϢΩ�켡������}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------
\subsection{ϢΩ��������ɽ����ˡ}
%---------------------------------------------------------------
ϢΩ1��������(Linear Equations)�ϡ����Τ褦�ʷ��򤷤Ƥ��롣
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1N}x_N&=b_1\\
  a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2N}x_N&=b_2\\
  a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\cdots+a_{3N}x_N&=b_3\\
  \vdots\hspace{30mm}&\\
  a_{M1}x_1+a_{M2}x_2+a_{M3}x_3+\cdots+a_{MN}x_N&=b_M
 \end{aligned}
 \label{eq:LinearEquations}
\end{equation}
%

��(\ref{eq:LinearEquations})�Ϲ���ȥ٥��ȥ�ǽ񤯤ȡ��������ä��ꤷ��
�ͤ��䤹���ʤ롣��ľ���ȡ�
%
\begin{align}
 \vm{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}
 \label{eq:ϢΩ��������ɽ������������}
\end{align}
%
�Ǥ��롣���줾��ι���ȥ٥��ȥ�ϡ�
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
%
  \vm{A}&=
  \begin{bmatrix}
   a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1N} \\
   a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2N} \\
   a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3N} \\
   \vdots &        &        & \ddots & \vdots \\
   a_{N1} & a_{N2} & a_{N3} & \cdots & a_{NN}
  \end{bmatrix} \qquad
%
  \vm{x}&=
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3 \\
   \vdots\\
   x_N
  \end{bmatrix} \qquad
%
  \vm{b}&=
  \begin{bmatrix}
   b_1 \\
   b_2 \\
   b_3 \\
   \vdots\\
   b_N
  \end{bmatrix}
 \end{aligned}
\end{equation}
%
��ɽ����

�̾ϢΩ1��������(\ref{eq:LinearEquations})��
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
%
  \begin{bmatrix}
   a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1N} \\
   a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2N} \\
   a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3N} \\
   \vdots &        &        & \ddots & \vdots \\
   a_{N1} & a_{N2} & a_{N3} & \cdots & a_{NN}
  \end{bmatrix}
%
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3 \\
   \vdots\\
   x_N
  \end{bmatrix}=
%
  \begin{bmatrix}
   b_1 \\
   b_2 \\
   b_3 \\
   \vdots\\
   b_N
  \end{bmatrix}
 \end{aligned}
 \label{eq:LinearEquations_matrix}
\end{equation}
%
�Ƚ�ɽ���롣���Τ褦�ˤ���ȡ����̤������ʤ��ɤ��ʤ롣
\newpage
%---------------------------------------------------------------
\subsection{����������������ˡ�δ���Ū�ʹͤ���}
%---------------------------------------------------------------
����������������(Gauss-Jordan)ˡ�Ȥ����Τϡ�ϢΩ������
(\ref{eq:LinearEquations_matrix})�򼡤ˤ褦���ѷ������ơ�����ˡ�Ǥ��롣
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
%
  \begin{bmatrix}
   1      & 0      & 0      & \cdots & 0 \\
   0      & 1      & 0      & \cdots & 0 \\
   0      & 0      & 1      & \cdots & 0 \\
   \vdots &        &        & \ddots & \vdots \\
   0      & 0 & 0 & \cdots & 1
  \end{bmatrix}
%
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3 \\
   \vdots\\
   x_N
  \end{bmatrix}=
%
  \begin{bmatrix}
   b_1^\prime \\
   b_2^\prime \\
   b_3^\prime \\
   \vdots\\
   b_N^\prime
  \end{bmatrix}
 \end{aligned}
\end{equation}
%
���μ��������餫�ˡ������$x_{i}=b_{i}^\prime$�Ȥʤ롣�����ɤ���äƵ��뤫?��
����ԥ塼�����Ǽºݤ˷׻��������ˡ����Ϥǥ���������������ˡ�Ƿ׻����Ƥߤ롣��
�Ȥ��ơ�
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   1x+2y+3&=2\\
   2x+2y+3z&=1\\
   2x+2y+1z&=-1
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:Gauss-Jordan_example1}
\end{equation}
%
�򥬥�������������ˡ�ǲ����롣
\begin{multicols}{2}
 \setlength{\columnseprule}{0.4pt}
 \setlength{\columnsep}{2zw}
 %
 �򤯤٤���������
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   2 & 2 & 3 \\
   2 & 2 & 1 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   2 \\
   1 \\
   -1
  \end{bmatrix}
 \end{equation*} \\
 %
 2��$-2\times$1��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   0 & -2 & -3 \\
   2 & 2 & 1 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   2 \\
   -3 \\
   -1
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}\\
 %
 3��$-2\times$1��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   0 & -2 & -3 \\
   0 & -2 & -5 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   2 \\
   -3 \\
   -5
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}\\
 %
 $-\frac{1}{2}\times$2��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   0 & 1 & \frac{3}{2} \\
   0 & -2 & -5 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   2 \\
   \frac{3}{2} \\
   -5
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}\\
 %
 1��$-2\times$2��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & \frac{3}{2} \\
   0 & -2 & -5 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   -1 \\
   \frac{3}{2} \\
   -5
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}\\
 %
 3��$+2\times$2��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & \frac{3}{2} \\
   0 & 0 & -2 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   -1 \\
   \frac{3}{2} \\
   -2
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}
 %
 $-\frac{1}{2}\times$3��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & \frac{3}{2} \\
   0 & 0 & 1 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   -1 \\
   \frac{3}{2} \\
   1
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}
 %
 $2��-\frac{3}{2}\times$3��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   -1 \\
   0 \\
   1
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}\\
 %
 ����ǡ�����������������ˡ�ˤ���гѲ��κ�Ȥϴ�λ�Ǥ��롣���줫
 �顢$(x_1,x_2,x_3)=(-1,0,1)$��ʬ���롣
\end{multicols}
%
%---------------------------------------------------------------
\subsection{�չ���}
%---------------------------------------------------------------
�����������������Ȥäơ��չ��󤬵����롥�ʲ��Τ褦�ˤ��롥�򤯤٤���������
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   2 & 2 & 3 \\
   2 & 2 & 1 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    y_{11} & y_{12} & y_{13} \\
    y_{21} & y_{22} & y_{23} \\
    y_{31} & y_{32} & y_{33}
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
   2 \\
   1 \\
   -1
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
 \end{equation*} \\
 %
 �Ȥ��롥

 2��$-2\times$1��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   0 & -2 & -3 \\
   2 & 2 & 1 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    y_{11} & y_{12} & y_{13} \\
    y_{21} & y_{22} & y_{23} \\
    y_{31} & y_{32} & y_{33}
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
   2 \\
   -3 \\
   -1
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}\\
 %
 3��$-2\times$1��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   0 & -2 & -3 \\
   0 & -2 & -5 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    y_{11} & y_{12} & y_{13} \\
    y_{21} & y_{22} & y_{23} \\
    y_{31} & y_{32} & y_{33}
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
   2 \\
   -3 \\
   -5
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    -2 & 1 & 0 \\
    -2 & 0 & 1 \\
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}\\
 %
 $-\frac{1}{2}\times$2��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   0 & 1 & \frac{3}{2} \\
   0 & -2 & -5 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    y_{11} & y_{12} & y_{13} \\
    y_{21} & y_{22} & y_{23} \\
    y_{31} & y_{32} & y_{33}
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
   2 \\
   \frac{3}{2} \\
   -5
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    1 & -\frac{1}{2} & 0 \\
    -2 & 0 & 1 \\
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}\\
 %
 1��$-2\times$2��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & \frac{3}{2} \\
   0 & -2 & -5 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    y_{11} & y_{12} & y_{13} \\
    y_{21} & y_{22} & y_{23} \\
    y_{31} & y_{32} & y_{33}
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
   -1 \\
   \frac{3}{2} \\
   -5
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    -1 & 1 & 0 \\
    1 & -\frac{1}{2} & 0 \\
    -2 & 0 & 1 \\
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}\\
 %
 3��$+2\times$2��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & \frac{3}{2} \\
   0 & 0 & -2 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    y_{11} & y_{12} & y_{13} \\
    y_{21} & y_{22} & y_{23} \\
    y_{31} & y_{32} & y_{33}
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
   -1 \\
   \frac{3}{2} \\
   -2
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    -1 & 1 & 0 \\
    1 & -\frac{1}{2} & 0 \\
    0 & -1 & 1 \\
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}
 %
 $-\frac{1}{2}\times$3��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & \frac{3}{2} \\
   0 & 0 & 1 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    y_{11} & y_{12} & y_{13} \\
    y_{21} & y_{22} & y_{23} \\
    y_{31} & y_{32} & y_{33}
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
   -1 \\
   \frac{3}{2} \\
   1
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    -1 & 1 & 0 \\
    1 & -\frac{1}{2} & 0 \\
    0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}
 %
 $2��-\frac{3}{2}\times$3��
 %
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    y_{11} & y_{12} & y_{13} \\
    y_{21} & y_{22} & y_{23} \\
    y_{31} & y_{32} & y_{33}
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   \begin{pmatrix}
   -1 \\
   0 \\
   1
   \end{pmatrix}
   \sqcup
   \begin{pmatrix}
    -1 & 1 & 0 \\
    1 & -\frac{5}{4} & \frac{3}{4} \\
    0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
   \end{pmatrix}
  \end{bmatrix}
 \end{equation*}\\
 %
 ����ǡ�����������������ˡ�ˤ���гѲ��κ�Ȥϴ�λ�Ǥ��롣���줫
 �顢$(x_1,x_2,x_3)=(-1,0,1)$��ʬ���롣����ˡ��չ���
 \begin{equation*}
  \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   2 & 2 & 3 \\
   2 & 2 & 1 
  \end{bmatrix}^{-1}
  =
 \begin{bmatrix}
  -1 & 1 & 0 \\
  1 & -\frac{5}{4} & \frac{3}{4} \\
  0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
 \end{bmatrix}
\end{equation*}
 ��ʬ���롥
%
%---------------------------------------------------------------
\subsection{����������������ˡ��C����δؿ�}
%---------------------------------------------------------------
�ԥܥå�����ϹԤ�ʤ��ǡ��չ������ʤ��Υ���������������ˡ��ϢΩ���������
������ץ������򼨤������Υץ�������ư��ϡ������̤�Ǥ��롣
%
\begin{itemize}
 \item ������\tw{n}�ϡ��򤯤٤�ϢΩ��������̤�ο��ο��Ǥ��롣
 \item ������������\tw{a}��\tw{b}�ϡ���������$\vm{A}$����Ʊ����$\vm{b}$�Ǥ��롣
       �ͤϡ��ƤӽФ�������˥��ɥ쥹�Ϥ��������롣
       \begin{itemize}
	\item ��������ϡ�����\tw{a[1][1]}��\tw{a[n][n]}�˳�Ǽ����Ƥ��롣
	\item ��Ʊ����ϡ�����\tw{b[1]}��\tw{b[n]}�˳�Ǽ����Ƥ��롣
       \end{itemize}
 \item ϢΩ�������β�$\vm{x}$�ϡ�����\tw{b[1]}��\tw{b[n]}�˳�Ǽ����롣
 \item ���Υץ������Ǥν�������λ����ȡ�����\tw{a[1][1]}��\tw{a[n][n]}��ñ��
       ����ˤʤ롣��
\end{itemize}

\begin{quote}
 \setlength{\baselineskip}{12pt}
 \begin{verbatim}
	/* ========== ��������������ˡ�δؿ� =================*/
	void gauss_jordan(int n, double a[][100], double b[]){

	   int ipv, i, j;
	   double inv_pivot, temp;

	   for(ipv=1 ; ipv <= n ; ipv++){

	      /* ---- �г���ʬ=1(�ԥܥåȹԤν���) ---- */
	      inv_pivot = 1.0/a[ipv][ipv];
	      for(j=1 ; j <= n ; j++){
	         a[ipv][j] *= inv_pivot;
	      }
	      b[ipv] *= inv_pivot;

	      /* ---- �ԥܥå���=0(�ԥܥåȹ԰ʳ��ν���) ---- */
	      for(i=1 ; i<=n ; i++){
	         if(i != ipv){
	            temp = a[i][ipv];
	            for(j=1 ; j<=n ; j++){
	               a[i][j] -= temp*a[ipv][j];
	            }
	            b[i] -= temp*b[ipv];
	         }
	      }

	   }
	}
 \end{verbatim}
\end{quote}
%
%=====================================================================
\section{�ޤȤ�}
%=====================================================================
���λ�ϰϤ����򤹤٤����Ȥ�ޤȤ��ȡ��ʲ��Τ褦�ˤʤ롣
\begin{itemize}
 \item ����ʬ������
 \begin{itemize}
  \item 4���Υ�󥲥��å�ˡ�����������餤�ϡ��ŵ����뤳�ȡ����᡼����ͯ���С���
	��ʤ��񤷤��Ϥʤ���
  \item 4���Υ�󥲥��å�ˡ�Υץ����������Ƥ�����Ǥ��뤳�ȡ�
  \item �ⳬ����ʬ��������ϢΩ��1������ʬ��������ľ���뤳�ȡ�
 \end{itemize}
 \item ϢΩ1��������
 \begin{itemize}
  \item ����������������ˡ��ϢΩ���������׻��Ǥ��뤳�ȡ�
  \item ����������������ˡ�ǵչ��󤬷׻��Ǥ��뤳�ȡ�
  \item ����������������ˡ��C����δؿ�������Ǥ��뤳�ȡ�
 \end{itemize}
\end{itemize}
%=====================================================================
%
\end{document}



