%=====================================================================
% ���Ĺ��� 5E �׻������ѥƥ�����
%�����ơ��ޡ��ǡ��������
%    �ܥƥ����Ȥ�����
%������������֤Ȥ�
%�����������饰��󥸥����
%�������������ץ饤��ؿ����
%        ���������õ�ˡ�ȸ�������
%        ��LUʬ��
%        ����������
%
% last updated 2005.12.19
%    created by  Masashi Yamamoto
%     e-mail yamamoto@akita-nct.jp
%=====================================================================
\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,theorem}
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\hugesymbol}[1]{\mbox{\strut\rlap{\smash{\Huge$#1$}}\quad}}
\oddsidemargin 0mm  %����;�� 25.4mm-0mm������ڡ���
\evensidemargin 0mm %����;�� 25.4mm-0mm�������ڡ���
\textwidth 160mm
%
\begin{document}
\title{���ˡ(�饰��󥸥���֤ȥ��ץ饤�����)}
\author{���ܾ���\thanks{��Ω���Ĺ��ȹ�������ع����ŵ����󹩳ز�}}
\date{2005ǯ12��20��}
\maketitle
%
%
%=====================================================================
\section{�Ϥ����}
%=====================================================================
�¸��䥷�ߥ�졼������ԤäƤ����$(x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$
�Τ褦�ˡ�Υ��Ū�˥ǡ�����������Τ����̤Τ��ȤǤ��롥��������줿�ͤ��顤Ǥ��
��$x$���Ф���$y$���ͤ��¬���ʤ��ƤϤʤ�ʤ����Ȥ����Ф��������롥���ؼ¸��Ǥ϶�
���구��Ȥä��ͤ��¬�������������ǤϷ׻������Ѥ����ͤ��¬���뤳�Ȥ�ؽ����롥

�ͤ�׻����뤿��ˤϡ�$y=f(x)$�򼨤��ؿ�$f$�����Ф褤�����δؿ��η�����ˤϡ�
������������ˡ�����롥�׻������Ѥιֵ��Ǥϡ�2�Ĥ���ˡ��ؽ����롥
\begin{description}
 \item[���ˡ]����ϡ�Υ��Ū���������Ƥ��̲᤹��ؿ����ᡤ�ͤ��¬������ˡ�Ǥ�
	   ��(��\ref{fig:lagrange_hokan})���ǡ�������¿���ʤ�ȡ����꤬�����뤳
	   �Ȥ����롥
 \item[�Ǿ�2��ˡ]�ǡ����򤢤�����δؿ��˶�����ơ��ͤ��¬������ˡ�ǤǤ���(��
	    \ref{fig:�Ǿ�2����})���̾�ؿ��������ѥ�᡼��������ǡ���
	    �ο���¿�������ƤΥǡ������̤������������櫓�ǤϤʤ����Ǥ������
	    ���ʤ��ʤ�褦�ˡ��ؿ��Υѥ�᡼��������롥
\end{description}

%----------- OR AND NOT MILɽ�� ----------------------------
\begin{figure}[htbp]
 \begin{tabular}{cc}
  %---- �饰��󥸥���� -------------------
  \begin{minipage}[b]{0.45\hsize}
  \begin{center}
   \includegraphics[keepaspectratio, scale=0.6]{figure/lagrange.eps}
   \caption{���(�饰��󥸥����)}
   \label{fig:lagrange_hokan}
  \end{center}
  \end{minipage} &
  %---- �Ǿ�2��ˡ -------------------
  \begin{minipage}[b]{0.45\hsize}
  \begin{center}
   \includegraphics[keepaspectratio, scale=0.6]{figure/square_fit.eps}
   \caption{�Ǿ�2����(2���ؿ�)}
   \label{fig:�Ǿ�2����}
  \end{center}
  \end{minipage}
 \end{tabular}
\end{figure}
%

����ιֵ��Ǥϡ����Ԥ����ˡ�γؽ����롥���ˡ�ˤ⤤������ͭ�뤬�������ǤϺǤ��
��Ū�ʥ饰��󥸥���֤ȥ��ץ饤����֤ˤĤ����������롥������ؽ������塤�Ǿ�
2��ˡ�ˤĤ����������롥

����Ū�ˤϡ���֤Ȥ�����줿�ǡ������ϰ���Ǥ��ͤο���Τ��Ȥ������������Ф��ơ�
�ϰϳ��ο�����䳰�ȸ�����\footnote{��֤Τ��Ȥ����ޡ��䳰�Τ��Ȥ��ޤȤ������Ȥ⤢
�롥}���㤨�С���\ref{fig:fit_��֤��䳰}�Τ褦��$(x_0,y_0)$��$(x_3,y_3)$�Υǡ�
�������ꡤ�������̤����������줿���롥�ǡ������ϰ�$[x_1,x_3]$�ο������
�֡�����ʳ����䳰�ȸ��������������ɤ����Ʊ���ؿ����Ѥ��롥

��֤���٤ơ��䳰��������������٤������ʤ��礬¿�������Τ��Ȥϡ��ڷ����ʤΥ�
��դ�ͤ�����ɤ�ʬ���롥�����ޤǤΥǡ�������֤��뤳�ȤϤ���ʤ��񤷤��ʤ�����
�����ʹߤβ��ʤ���ꤹ�뤳�Ȥ϶ˤ���񤷤��ʤ롥�⤷���ɤ����٤������ʹߤβ��ʤ�
�狼��С��������ˤʤ��Ǥ�������
%
\begin{figure}[hbpt]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio,scale=1.0]{figure/hokan_hogai.eps}
  \caption{��֤��䳰}
  \label{fig:fit_��֤��䳰}
 \end{center}
\end{figure}
%
%
%=====================================================================
\section{�饰��󥸥����}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------
\subsection{����Ū�ʹͤ���}
%---------------------------------------------------------------
����ʪ���̤�¬�ꤷ��$N+1$�Ĥ��ͤ�����줿�Ȥ��롥�����ϡ�
$(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$��2������ɸ��ɽ�����Ȥ�
�Ǥ��롥�������Ƥ������̤�ؿ�����뤳�Ȥ����ˡ�β���Ǥ��롥N���ؿ���Ȥ���
������Ū��ã���Ǥ�����ưפ�ʬ���롥�ǡ�����2�ĤǤ����1���ؿ���3�ĤǤ����2����
���Ȥ����褦�ˤǤ��롥����Ū��$N+1$�ĤΥǡ����ξ�硤
%
\begin{align}
 y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_ix^i+\cdots+a_Nx^N
 \label{eq:N_polynomial}
\end{align}
%
��$N$���ؿ����Ѥ�����֤���櫓�Ǥ��롥���η���$a_i$�����С���֤δؿ�������줿��
�Ȥˤʤ롥���η����ϡ�N+1����ϢΩ1����������򤯤��Ȥˤ����뤳�Ȥ��Ǥ��롥

����ϢΩ�������η׻��ˤϤ��ʤ�λ��֤�ɬ�פǤ��뤬������������ä��ɤ���ˡ��
���롥�����Ǥϡ�N���ؿ���ɽ���Ǥ�����ɤ��櫓�ǡ����Τ褦�ˤ��롥
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  y&=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_N)}
  {(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)\cdots(x_0-x_N)}y_0
  +\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_N)}
  {(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots(x_1-x_N)}y_1\\
  &\qquad+\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)\cdots(x-x_N)}
  {(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots(x_2-x_N)}y_2
  +\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_N)}
  {(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)\cdots(x_3-x_N)}y_3\\
  &\qquad\cdots+\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_N)}
  {(x_k-x_0)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_N)}y_k+\cdots\\
  &\qquad\qquad+\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{N-1})}
  {(x_N-x_0)(x_N-x_1)(x_N-x_2)\cdots(x_N-x_{N-1})}y_N
 \end{aligned}
 \label{eq:lagrange_interpolating_polynomial_1}
\end{equation}
%
���μ�(\ref{eq:lagrange_interpolating_polynomial_1})�򸫤�ȡ�
%
\begin{itemize}
 \item �ƹ��ʬ�������ǡ�ʬ�Ҥ�N���ؿ��ȤʤäƤ��롥���Τ��Ȥ��顤����
      �ι��N���ؿ��ˤʤäƤ���Τǡ����μ���N���ؿ�(N��¿�༰)�Ǥ��롥
 \item $x$��$x_0,x_1,x_2,\cdots,x_N$����������ȡ�$y$���ͤ�
      $y_0,y_1,y_1,\cdots,y_N$�ˤʤ롥�������äơ�����N���ؿ������ƤΥǡ�����
      $(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$��
      �̲ᤷ�Ƥ��롥
\end{itemize}
%
�ȤʤäƤ��롥����ϡ�ɽ�������㤦��Τμ�(\ref{eq:N_polynomial})��Ʊ���Ǥ��롥��(\ref{eq:N_polynomial})��$a_i$��ϢΩ��������򤯤��Ȥˤ����֤δؿ������ɬ�פ�̵������
(\ref{eq:lagrange_interpolating_polynomial_1})��Ȥ��Ф褤�Ȥ������ȤǤ��롥������
�֤�饰��󥸥�����¿�༰(Lagrange's interpolating polynomial)�Ȥ�������
(\ref{eq:lagrange_interpolating_polynomial_1})��⤦����äȳʹ��ɤ��񤱤С�
%
\begin{align}
  L(x)=\sum_{k=0}^{N}L_k(x)y_k
\end{align}
��������
\begin{align}
 L_k(x)
 &=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_N)}
  {(x_k-x_0)(x_k-x_1)(x_k-x_2)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_N)}\nonumber \\
 &=\frac{x-x_0}{x_k-x_0}\times\frac{x-x_1}{x_k-x_1}\times\frac{x-x_2}{x_k-x_2}\times\cdots\times\frac{x-x_{k-1}}{x_k-x_{k-1}}\times\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}\times\cdots\frac{x-x_N}{x_k-x_N}\nonumber \\
 &=\prod_{j=0}^{N(j\neq k)}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥
%---------------------------------------------------------------
\subsection{������}
%---------------------------------------------------------------
��֤������������Ƥ���ȡ��饰��󥸥����֤ζ�������٤������ʤ뤳�Ȥ����롥��
�ζ�������\ref{fig:�饰��󥸥���֤�����}�˼��������줫�顤��֤δؿ�
����ư����ü�����ǤϤ��ʤ����٤��������Ȥ��狼�롥�饰��󥸥����֤Ǥϡ���֤������������Ƥ�����礭�ʿ�ư��ȯ
�����ơ���Ϥ���֤Ȥϸ����ʤ��ʤ뤳�Ȥ����롥�饰��󥸥����֤ˤϾ�ˤ��δ���
�����դ��ޤȤ��Τǡ��ǡ���������¿�������ɤ���ˡ�ǤϤʤ����ۤ�����֤����򤷤�
���ƤϤʤ�ʤ���
%
\begin{figure}[hbpt]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio,scale=0.5]{figure/lagrange_problem.eps}
  \caption{�饰��󥸥���֤���������$y=\frac{1}{1+25x^2}$��10�������
  (����)��������ξü�ǿ�ư���롥}
  \label{fig:�饰��󥸥���֤�����}
 \end{center}
\end{figure}
%
%=====================================================================
\section{���ץ饤�����}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------
\subsection{��ʬ¿�༰}
%---------------------------------------------------------------
�饰��󥸥����֤ϥǡ��������������Ƥ���ȴؿ�����ư������֤����٤������ʤ��
����˽Ҥ٤��Ȥ���Ǥ��롥�����ǡ���֤����ΰ��ǡ����ֳ�$[x_i,x_{i+1}]$�˶���
�ꡤ���ζ�˵���ͤ�Ȥ��㼡��¿�༰�Ƕ�����뤳�Ȥ�ͤ��롥��ʬŪ�˶���ؿ���Ȥ�
�櫓�Ǥ��������˶���򤷤ʤ��ȶ����Ǥ���Ƴ�ؿ�����Ϣ³�ˤʤ롥Ƴ�ؿ���Ϣ³�ˤ�
��褦�ˡ����˶��������ˡ�����ץ饤�����(spline interpolation)�Ǥ��롥

�����Ǥϡ��̾�褯�Ĥ�����3���Υ��ץ饤����֤ˤĤ����������롥��֤���ؿ���3���ؿ�
��Ȥ����ᡤ�����ƤФ�Ƥ��롥����ʹߤ������ϡ�ʸ��\cite{���ͷ׻�}�򻲹ͤˤ�����

�ǡ��������Ʊ���褦��$(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$��
���롥�����ơ����$[x_j,x_{j+1}]$����֤˻Ȥ��ؿ���$S_j(x)$�Ȥ��롥�����ͻҤ��
\ref{fig:spline�ζ�ʬ}�˼�����
%
\begin{figure}[hbpt]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio,scale=0.7]{figure/Spline.eps}
  \caption{���ץ饤����֤ζ�ʬ}
  \label{fig:spline�ζ�ʬ}
 \end{center}
\end{figure}
%

%---------------------------------------------------------------
\subsection{��ʬ¿�༰�ξ��ȷ׻���ˡ}
%---------------------------------------------------------------
3���Υ��ץ饤����֤�ͤ���Τǡ���ʬ¿�༰��
%
\begin{align}
 S_j(x)=a_j(x-x_j)^3+b_j(x-x_j)^2+c_j(x-x_j)+d_j \qquad(j=0,1,2,3,\cdots,N-1)
 \label{eq:def_Spline_sj}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥����$a_j, b_j, c_j, d_j$����뤳�Ȥ������ץ饤����֤δؿ��򤭤������
�Ȥʤ롥

$N+1$�ĤΥǡ����������뤿�ᡤ��ʬ¿�༰��$N$�Ĥ��롥�������äơ���ʬ¿�༰�η���
��Ǥ���̤�ο���$4N$�Ĥ��뤳�Ȥˤʤ롥�������뤿��ˤϡ�$4N$�Ĥ���������ɬ��
�Ȥʤ롥3���Υ��ץ饤����֤˰ʲ��ξ���ݤ��ơ����η�������뤳�Ȥˤ��롥
%
\begin{description}
 \item[{[���1]}]���ƤΥǡ��������̤롥�ơ���$S_j(x)$���Ф���ξü�Ǥ��ͤ���ޤ�
      ���ᡤ2N�Ĥ����������Ǥ��롥
 \item[{[���2]}]�ơ��ζ�ʬ��ּ��ϡ���������1��Ƴ�ؿ���Ϣ³�Ȥ��롥����ˤ�ꡤ
      N-1�Ĥ����������Ǥ���
 \item[{[���3]}]�ơ��ζ�ʬ��ּ��ϡ���������2��Ƴ�ؿ���Ϣ³�Ȥ��롥����ˤ�ꡤ
      N-1�Ĥ����������Ǥ��롥
\end{description}
%

�ʾ��3�Ĥξ���ݤ���$4N-2$�Ĥ���������̤�ο��Ǥ��뷸���δط���ɽ���Ǥ��롥�ºݡ�̤
�ο���$4N$�ĤʤΤǡ�2������������­���Ƥ��롥������­���䤦����ˡ����������ʾ�
�郎�ͤ����뤬���̾��ξü$x_0$��$x_N$�Ǥ�2��Ƴ�ؿ����ͤ�0�Ȥ��롥���ʤ����
$S_0^{\prime\prime}(x_0)=S_{N-1}^{\prime\prime}(x_N)=0$�Ǥ��롥����������ץ�
����(natural spline)�Ȥ������������ץ饤��ʳ��ˤϡ�ξü��1��Ƴ�ؿ����ͤ���ꤹ
���Τ⤢�롥

��������Ƥξ�郎��ޤä������Ȥϡ����ξ���������ϢΩ���������������Ǥ��롥
���Τ褦�ˡ�ɬ�פʾ�郎��ޤä���硤$4N$�Ĥ�̤�ο�$a_j, b_j, c_j, d_j$����Τ�
$x_j,y_j$��Ȥä�ϢΩ����������Τ����̤Ǥ��롥������ǽ�Ǥ��뤬���������
��ʤ�����ˡ�
\begin{enumerate}
 \item �����$4N$�Ĥ�̤�ο���$x_j$��$y_j$�������$x=x_j$�ˤ�����2��Ƴ�ؿ����ͤ�
       $u_j$��ɽ�����롥
%
\begin{align}
 u_j&=S_k^{\prime\prime}(x_j)\\
 &\qquad\text{��������\;} j=0,1,2,\cdots,N\nonumber \\
 &\qquad\hspace{15mm}k=j-1,j\nonumber
\end{align}
%
 \item $u_j$��������ϢΩ���������ꡤ$u_j$��򤯡�
 \item ���Τ�$x_j$��$y_j$��ϢΩ�������ˤ�����줿$u_j$���Ѥ��ơ���ʬ¿�༰��
       ����$a_j, b_j, c_j, d_j$��׻����롥
\end{enumerate}
�Ȥ������ץ������������򤯡������ǡ�������̤�ο�$(a_j, b_j, c_j, d_j)$��
$(x_j,y_j,u_j)$��ɽ�����뤳�Ȥ��Ǥ���Τ����Ȥ������䤬ͯ���Ԥ⤤�������������ϡ����Ϣ
Ω���������������˻Ȥ����Ȥˤ���ǽ�ʤΤǤ��롥�ޤ������Τ褦����ˡ�ϡ�
������α���򤷤Ƥ���褦�˻פ��뤬���ʹߤ������򸫤�ȼºݤˤϤ��ʤ�ʷ��
�ʤ뤳�Ȥ��狼��Τǲ��������ɤ���ߤ�����

%-------------------------
\subsubsection{������ɽ��}
%-------------------------
\paragraph{$b_j$��ɽ��}����ϡ�$u_j=S_j^{\prime\prime}(x_j)$������뤳�Ȥ��Ǥ�
�롥��(\ref{eq:def_Spline_sj})���顤
\begin{align}
 S_j^{\prime\prime}(x)=6a_j(x-x_j)+2b_j
\end{align}
�Ȥʤ롥$x=x_j$�λ��������$u_j$�Ȥʤ�Τǡ�
\begin{align}
 b_j=\frac{u_j}{2}
 \label{eq:spline_cal_b}
\end{align}
��ľ����Ƴ����롥����ǡ�$b_j$��$u_j$��ɽ���Ǥ������Ȥˤʤ롥$b_j$��ɽ�����뤿
��ˤϡ�$x_j$��$y_j$��ȤäƤ��ɤ��ä����������ǤϤ��ޤ���ɬ�פʤ��ä��ΤǤ��롥

\paragraph{$a_j$��ɽ��}����ϡ�2��Ƴ�ؿ�����ʬ¿�༰�ζ������������Ȥ�����狼��
Ƴ�����Ȥ��Ǥ��롥��ۤɤ϶�ʬ¿�༰�κ�ü$x_j$��ͤ��������˱�ü$x=x_{j+1}$���
���뤳�Ȥˤ��롥��ü��Ƴ�ؿ��ϡ�
%
\begin{align}
 u_{j+1}=S_j^{\prime\prime}(x_{j+1})=
 6a_j(x_{j+1}-x_j)+2b_j\qquad(j=0,1,2,\cdots,N-1)
\end{align}
%
�Ȥʤ롥���줫�顤$a_j$��
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  a_j&=\frac{u_{j+1}-2b_j}{6(x_{j+1}-x_j)}\\
  &=\frac{u_{j+1}-u_j}{6(x_{j+1}-x_j)}\qquad(j=0,1,2,\cdots,N-1)
 \end{aligned}
 \label{eq:spline_cal_a}
\end{equation}
%
��Ƴ�����Ȥ��Ǥ��롥����ǡ�$a_j$��$x_j$��$y_j$��$u_j$��ɽ���Ǥ������Ȥˤʤ롥

\paragraph{$d_j$��ɽ��}����ϡ���ʬ¿�༰�����ƤΥǡ���������̲᤹��Ȥ������
����Ƴ�����Ȥ��Ǥ��롥�ޤ��ϡ�¿�༰$S_j(x)$�κ�ü$x_j$��ͤ��롥�����Ǥϡ�
$S_j(x_j)=y_j$�ʤΤǡ���(\ref{eq:def_Spline_sj})�����������
%
\begin{align}
 d_j=y_j
 \label{eq:spline_cal_d}
\end{align}
%
��ľ����Ƴ���롥����ǡ�$d_j$��$y_j$��ɽ���Ǥ������Ȥˤʤ롥$d_j$��ɽ���ˤϡ�
$x_j$��$u_j$�Ϥ��ޤ������פǤ��ä���

\paragraph{$c_j$��ɽ��}�����ޤ�����ʬ¿�༰�����ƤΥǡ���������̲᤹��Ȥ������
����Ƴ�����Ȥ��Ǥ��롥���٤ϡ�¿�༰$S_j(x)$�α�ü$x_{j+1}$�Ǥ��롥�����Ǥϡ�
$S_j(x_{j+1})=y_{j+1}$�ʤΤǡ���(\ref{eq:def_Spline_sj})�����������
%
\begin{align}
 a_j(x_{j+1}-x_j)^3+b_j(x_{j+1}-x_j)^2+c_j(x_{j+1}-x_j)+d_j=y_{j+1}
\end{align}
%
��Ƴ���롥��
(\ref{eq:spline_cal_b}),(\ref{eq:spline_cal_a}),(\ref{eq:spline_cal_d})���Ѥ���
�ȡ�
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  c_j&=\frac{1}{x_{j+1}-x_j}\left[
  y_{j+1}-a_j(x_{j+1}-x_j)^3-b_j(x_{j+1}-x_j)^2-d_j
  \right]\\
  &=\frac{1}{x_{j+1}-x_j}\left[
  y_{j+1}-\frac{u_{j+1}-u_j}{6(x_{j+1}-x_j)}(x_{j+1}-x_j)^3
  -\frac{u_j}{2}(x_{j+1}-x_j)^2-y_i
  \right]\\
  &=\frac{y_{j+1}-y_i}{x_{j+1}-x_j}
  -\frac{1}{6}(x_{j+1}-x_j)(2u_j+u_{j+1})
 \end{aligned}
 \label{eq:spline_cal_c}
\end{equation}
%
�Ȥʤ롥����ǡ�$a_j$��$x_j$��$y_j$��$u_j$��ɽ���Ǥ������Ȥˤʤ롥

�ʾ�ǡ�$a_j$��$b_j$��$c_j$��$d_j$��$x_j$��$y_j$��$u_j$��ɽ�������Ȥˤʤ롥$x_j$
��$y_j$�ϥǡ������ʤΤǡ����ΤǤ��롥�������äơ�$u_j$��ʬ����С���֤�ɬ�פʷ�
��������ʬ����ΤǤ��롥�ޤ���ϢΩ��������\texttt{[���1]}��\texttt{[���3]}����
�����Ƥ��롥���äơ�\texttt[���2]���������褦��$u_j$�������ɤ����Ȥˤʤ롥
��������Ƥζ�ʬ¿�༰�η�����ʬ����ΤǤ��롥
%
%------------------------
\subsubsection{ϢΩ������}
%------------------------
��˽Ҥ٤��褦��$u_j$�ϡ�1��Ƴ�ؿ������������������Ȥ�����狼����롥���μ���
�Ȥ��ΤǤ��롥
%
\begin{align}
 S^\prime(x_{j+1})=S_j^\prime(x_{j+1})=S_{j+1}^\prime(x_{j+1})\qquad(j=0,1,2,\cdots,N-2)
\end{align}
%
����ȼ�(\ref{eq:def_Spline_sj})���顤
%
\begin{align}
 3a_j(x_{j+1}-x_j)^2+2b_j(x_{j+1}-x_j)+c_j=c_{j+1}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥���Ȥϡ����μ���$a_j$��$b_j$��$c_j$��$x_j$��$y_j$��$u_j$��
ɽ���ơ�$u_j$��ϢΩ�������ˤ�������Ǥ��롥�ǽ�Ū�˼��ϡ�
%
\begin{align}
 (x_{j+1}-x_j)u_j+2(x_{j+2}-x_j)u_{j+1}+(x_{j+2}-x_{j+1})u_{j+2}=
 6\left[\frac{y_{j+2}-y_{j+1}}{x_{j+2}-x_{j+1}}
 -\frac{y_{j+1}-y_j}{x_{j+1}-x_j}\right]
 \label{eq:uj_linear_equations}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����������ϡ�$j=0,1,2,\cdots,N-2$������Ω�ġ��������äơ����ο��ϡ�
$N-1$�ĤǤ��롥$u_j$�ο���$N+1$�ĤǤ��뤬��$u_0=u_N=0$�Ȥ����Τǡ�̤�Τ�$u_j$��
$N-1$�ĤǤ��롥��(\ref{eq:uj_linear_equations})��򤯤��Ȥˤ�ꡤ���Ƥ�$u_j$��
����Ǥ��롥���줬��ޤ�С�$a_j$��$b_j$��������$c_j$���׻��Ǥ��롥

$u_0=u_N=0$����������ϢΩ1���������ϡ�
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  &\left(
  \begin{array}{@{\,}ccccccc@{\,}}
   2(h_0+h_1)  & h_1 &   &   &                 &        & \\
   h_1 & 2(h_1+h_2)  & h_2  &   &   & \hugesymbol{0}       & \\
   & h_2 & 2(h_2+h_3) & h_3  &                 &        & \\
   &                &   & \ddots &                 &        & \\
   &                &   &  h_{j-1} & 2(h_{j-1}+h_j) & h_j & \\
   & \hugesymbol{0} &   &   &                 & \ddots & \\
   &                &   &   &                 & h_{N-2} & 2(h_{N-2}+h_{N-1})
  \end{array}
  \right)
  \begin{pmatrix}
   u_1 \\
   u_2 \\
   u_3 \\
   \vdots \\
   u_j \\
   \vdots \\
   u_{N-1}
  \end{pmatrix}\\
  &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=
  \begin{pmatrix}
   v_1 \\
   v_2 \\
   v_3 \\
   \vdots \\
   v_j \\
   \vdots \\
   v_{N-1}
  \end{pmatrix}
 \end{aligned}
 \label{eq:spline_linear_eq}
\end{equation}
%
�Ȥʤ롥��������$h_j$��$v_j$�ϰʲ��ΤȤ��ꡥ
%
\begin{align}
 h_j&=x_{j+1}-x_j &&(j=0,1,2,\cdots,N-1)\\
 v_j&=6\left[\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}
 -\frac{y_j-y_{j-1}}{h_{j-1}}\right] &&(j=1,2,\cdots,N-1)
\end{align}
%
%-----------------------------
\subsubsection{��ʬ¿�༰�η���}
%-----------------------------
�����ޤǤ�ʤ��Ȼפ��������ץ饤����֤�Ԥ���ʬ¿�༰(\ref{eq:def_Spline_sj})�ϡ�
�ʲ��μ��ǵ��롥
\begin{enumerate}
 \item ϢΩ������(\ref{eq:spline_linear_eq})��׻����ơ������Ǥ��󼡤�Ƴ�ؿ�����
       $u_j$����롥
 \item ��ʬ¿�༰�η���$a_j$��$b_j$��$c_j$��$d_j$��(\ref{eq:spline_cal_a}),
       (\ref{eq:spline_cal_b}),(\ref{eq:spline_cal_c}),(\ref{eq:spline_cal_d})��
       �׻����롥 
\end{enumerate}
��ʬ¿�༰��ʬ����С���֤��ͷ׻��Ǥ��롥
\newpage
%=====================================================================
\section{��������}
%=====================================================================
\begin{itemize}
 \item{3��$(1,1),(3,2),(4,5)$���̤������饰��󥸥���֤��ơ����$[-1,5]$�Υ�
      ��դ�񤱡����Υץ������ϡ���ݡ��ȤȤ�����Ф��뤳�ȡ�}
 \item{�饰��󥸥���֤��������򼨤����ؿ�$y=\frac{1}{1+25x^2}$�Υǡ�
      ����������ִؿ��δط���Ĵ�٤롥���$[-1,1]$�����ֳ֤˥ǡ�������
      5,11,21���Ѳ������ơ��饰��󥸥���֤Υ���դ�񤱡�}
 \item{��Υ饰��󥸥���֤��������򼨤����ؿ��ˤĤ��ơ�Ʊ�ͤΤ��Ȥ�
      ���ץ饤����֤��补���Υץ������ϡ���ݡ��ȤȤ�����Ф��뤳�ȡ�}
\end{itemize}
%
%=====================================================================
\section{��ݡ���}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{����}
%---------------------------------------------------------------------
��������˼������Ȥ��ꡤ1���ܤ�3���ܤΥץ������Υ���������Ф��뤳�ȡ�
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�������}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{quote}
 \begin{tabular}{ll}
  ���� & 1��27��(��)PM5:00�ޤ� \\
  �ѻ� & A4 \\
  ��о�� & ���ܸ��漼�������Υݥ��� \\
  ɽ�� & ɽ���1��Ĥ��ơ��ʲ��ι��ܤ�ʬ����䤹�����Ҥ��뤳�ȡ�\\
       & \qquad ���Ȳ���̾�ַ׻������ѡ�\\
       & \qquad ����̾�֥饰��󥸥���֤ȥ��ץ饤����֡�\\
       & \qquad 5E\quad �����ֹ�\quad ��̾\\
       & \qquad �����\\
 \end{tabular}
\end{quote}
%
%======= ����ʸ�� ====================================================
\bibliographystyle{junsrt}
\bibliography{data.bib} 
%
%=====================================================================
%
\end{document}



