%=====================================================================
% ���Ĺ��� 5E �׻������ѥƥ�����
%�����ơ��ޡ�Spline��֤Υץ������
%    �ܥƥ����Ȥ�����
%
% last updated 2005.1.18
%    created by  Masashi Yamamoto
%     e-mail yamamoto@akita-nct.jp
%=====================================================================
\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{html,graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,theorem,float}
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\hugesymbol}[1]{\mbox{\strut\rlap{\smash{\Huge$#1$}}\quad}}
\oddsidemargin 0mm  %����;�� 25.4mm-0mm������ڡ���
\evensidemargin 0mm %����;�� 25.4mm-0mm�������ڡ���
\textwidth 160mm
%
\begin{document}
\title{���ץ饤����֤Υץ������}
\author{���ܾ���\thanks{��Ω����ˡ�͡����Ĺ��ȹ�������ع����ŵ����ز�}}
\date{2005ǯ12��20��}
\maketitle
%
%
%=====================================================================
\section{�ץ��������ˡ}
%==================================================================
��������ʬ����褦�ˡ����ץ饤����֤�Ԥ�����ˤϰʲ���2�Ĥη׻���ɬ�פǤ��롥
\begin{itemize}
 \item �����Ǥ�2��Ƴ�ؿ�����$u_i$�η׻�
 \item ����$a,b,c,d$����ơ���֤��ͤη׻�
\end{itemize}
%
���줾�졤C����δؿ���������뤳�Ȥˤ��롥���줾��δؿ��κ�����ˡ�ˤĤ��ơ���
���˽Ҥ٤롥
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{2��Ƴ�ؿ����ͤ�׻�����ؿ�}
%---------------------------------------------------------------------
�ޤ��ǽ�δؿ��ǡ�ɸ����$x_i$��$y_i$���顤$x_i$�Ǥ�2��Ƴ�ؿ�����$u_i$��׻�����
�ץ������Ǥ��롥���δؿ��ϡ��ǽ��1��ƤӽФ������Ǥ褯����̤�����ͤ�׻���
�뼡�δؿ����Ϥ�������2��Ƴ�ؿ����ͤ�׻�����ץ������ϡ���Ω�����ؿ��Ȥ��ƥ�
���塼�벽����Τ�������ʤǤ��롥���Τۤ������ץ�����बʬ����䤹���ʤꡤ���
�ƥʥ󥹤��ưפǤ��롥

C����δؿ��Ǥ����¸����뤿��δؿ��Υץ��ȥ���������ϡ�
%
\begin{quote}
 \setlength{\baselineskip}{12pt}
 \begin{verbatim}
	void spline_cal_u(int n, double x[], double y[], double u[]);
 \end{verbatim}
\end{quote}
%
�Τ褦�ˤ���Ф褤��\texttt{n}��ɸ�����κ�����ֹ�Ǥ��롥ɸ�������ֹ�ϡ�0����
�Ϥޤ�\texttt{n}�ǽ���롥����\texttt{x[]}��\texttt{y[]}��ɸ�ܤ�x��y��ɸ���ͤ���
��롥����\texttt{u[]}�Ϸ׻����줿2��Ƴ�ؿ����ͤ����롥

���δؿ��Ǥν��������Ƥϡ�
%
\begin{itemize}
 \item ɸ�����Ǥ�2��Ƴ�ؿ�����$u_i$��������ϢΩ��������������롥
 \item ����ϢΩ��������򤯡�
\end{itemize}
�Ǥ��롥�פ����ϢΩ���������ꡤ�����Ʋ򤤤Ƥ���ΤǤ��롥�򤯤٤�ϢΩ�������ϡ�
�����̤�Ǥ��롥
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  &\left(
  \begin{array}{@{\,}ccccccc@{\,}}
   2(h_0+h_1)  & h_1 &   &   &                 &        & \\
   h_1 & 2(h_1+h_2)  & h_2  &   &   & \hugesymbol{0}       & \\
   & h_2 & 2(h_2+h_3) & h_3  &                 &        & \\
   &                &   & \ddots &                 &        & \\
   &                &   &  h_{j-1} & 2(h_{j-1}+h_j) & h_j & \\
   & \hugesymbol{0} &   &   &                 & \ddots & \\
   &                &   &   &                 & h_{N-2} & 2(h_{N-2}+h_{N-1})
  \end{array}
  \right)
  \begin{pmatrix}
   u_1 \\
   u_2 \\
   u_3 \\
   \vdots \\
   u_j \\
   \vdots \\
   u_{N-1}
  \end{pmatrix}\\
  &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=
  \begin{pmatrix}
   v_1 \\
   v_2 \\
   v_3 \\
   \vdots \\
   v_j \\
   \vdots \\
   v_{N-1}
  \end{pmatrix}
 \end{aligned}
\end{equation}
%
��������$h_j$��$v_j$�ϰʲ��ΤȤ��ꡥ
%
\begin{align}
 h_j&=x_{j+1}-x_j &&(j=0,1,2,\cdots,N-1)\\
 v_j&=6\left[\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}
 -\frac{y_j-y_{j-1}}{h_{j-1}}\right] &&(j=1,2,\cdots,N-1)
\end{align}
%

���δؿ��Υե������㡼�Ȥ��\ref{fig:flow_cal_u_i}�˼��������δؿ��Ǥϡ�
ϢΩ���������ɬ�פ����롥����ϢΩ�������ϡ��ʲ�����ħ�����롥
%
\begin{itemize}
 \item �����ϡ�3���гѹ���Ǥ��롥
 \item �г���ʬ�ϡ������ˤʤ�ʤ���
\end{itemize}
%
�̾��LUʬ�򡤤��뤤��ȿ��ˡ�ǲ򤯤��Ȥˤʤ롥�����������Υץ�������񤯤Τ���
�ݤʤΤǡ��������������ԥܥå�����Τʤ������������������Ȥ��Ф褤��ϢΩ����
���ˤ��򤫤줿2��Ƴ�ؿ����ͤϡ�����\texttt{u[]}��������ƸƤӽФ�¦����롥

ϢΩ�������ˤ��׻������2��Ƴ�ؿ����ͤϡ�$u_1,\/u_2,\/u_3,\/\cdots
\/,u_{n-1}$�Ǥ��롥ξü�ϼ����������ǡ�$u_0=0\quad u_n=0$�Ȥ��롥��
���δؿ��ǤϺǸ�ˤ��ξ��������\texttt{u[0]=0, u[n]=0}�Ȥ��뤳�ȤǼ�
�����Ƥ��롥
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio,scale=0.7]{figure/spline_cal_u.eps}
  \caption{2��Ƴ�ؿ�$u_i$�����ؿ���}
  \label{fig:flow_cal_u_i}
 \end{center}
\end{figure}
%
%
\newpage
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��֤��ͤ�׻�����ؿ�}
%---------------------------------------------------------------------
2��Ƴ�ؿ����ͤ�ʬ���ä��Τǡ��Ĥ�ν����ϡ������ͤ����Ѥ���Ǥ�դ�$x$������ͤ��
��뤳�ȤǤ��롥���ץ饤����֤ϡ�3���ζ�ʬ¿�༰��ɸ�����δ֤��䴰����ΤϺ���
�ǽҤ٤��Ȥ���Ǥ��롥���Τ���ˤϡ�ɸ�����κ�ɸ��2��Ƴ�ؿ����͡�¨��${x_i,
y_i,u_i}$���狼��з׻��Ǥ��롥2��Ƴ�ؿ�����$u_i$��ͽ�ᡤ��δؿ�
\texttt{spline\_cal\_u(n, x, y, u)}�Ƿ׻����Ƥ�����ΤȤ��롥

���ץ饤����֤η׻���ɬ�פ�${x_i, y_i,u_i}$���顤�����$x$���ͤ����ؿ����
������C ����δؿ��Ǥ����¸����뤿��δؿ��Υץ��ȥ���������ϡ�
%
\begin{quote}
 \setlength{\baselineskip}{12pt}
 \begin{verbatim}
	double spline(int n, double x[], double y[], double u[], double xx);
 \end{verbatim}
\end{quote}
%
�Τ褦�ˤ���Ф褤�����δؿ��μ°���\texttt{xx}������ͤ��᤿��$x$�������Τ�
���롥�����ơ����δؿ�������ͤ�$x$�Ǥ������$y$�Ȥʤ롥

���δؿ��ν��������Ƥϡ�
%
\begin{itemize}
 \item ����ͤ����$x$�����ɤ�ɸ�����δ֤ˤ��뤫õ����
 \item ���Ĥ��ä�ɸ�����ξ�꤫�顤3���ؿ��η�����׻����롥
 \item 3���ؿ�����$x$�λ����͡�$y$��׻����롥
\end{itemize}
�Ǥ��롥�����ǽ��פʤ��Ȥϡ�$x$�������֤�õ����3���ؿ��η�������뤳�ȤǤ��롥
2��Ƴ�ؿ���ɸ�������ͤ��顤�����η�����
%
\begin{align}
 a&=\frac{u_{j+1}-u_j}{6(x_{j+1}-x_j)} \label{eq:cal_a} \\
 b&=\frac{u_j}{2} \label{eq:cal_b} \\
 c&=\frac{y_{j+1}-y_i}{x_{j+1}-x_j}
 -\frac{1}{6}(x_{j+1}-x_j)(2u_j+u_{j+1}) \label{eq:cal_c} \\
 d&=y_j \label{eq:cal_d}
\end{align}
%
�ȷ׻��Ǥ��롥�����η������顤��֤���$y$��
%
\begin{align}
 y=ax^3+bx^2+cx+d \label{eq:cal_y}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥

���δؿ��Υե������㡼�Ȥ��\ref{fig:flow_spline}�˼������ޤ����ˡ�$x$��¸�ߤ�
���֤�2ʬõ���ˤ��õ���Ƥ��롥���줬�狼��С�$x$�򶴤����$x,y,u$���ͤ���
���롥��������ȡ���(\ref{eq:cal_a})��(\ref{eq:cal_d})���Ѥ��ơ�3���ؿ�����ּ�
�η���$a,b,c,d$���ͤ��׻��Ǥ��롥�����ơ���(\ref{eq:cal_y})���������$y$���狼�롥
��֤�������$x$���Ѥ�����\texttt{spline(n, x, y, u, xx)}��ƤӽФ��Ф褤�櫓��
���롥
%
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio,scale=0.7]{figure/spline.eps}
  \caption{��֤��줿�ͤ����ؿ���}
  \label{fig:flow_spline} 
 \end{center} 
\end{figure}
%=====================================================================
\end{document}
