%=====================================================================
% ���Ĺ��� 5E �׻������ѥƥ�����
%�����ơ��ޡ���ʬ
%    �ܥƥ����Ȥ�����
%
% last updated 2006.1.26
%    created by  Masashi Yamamoto
%     e-mail yamamoto@akita-nct.jp
%=====================================================================
\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{html,graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,theorem}
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\hugesymbol}[1]{\mbox{\strut\rlap{\smash{\Huge$#1$}}\quad}}
\oddsidemargin 0mm  %����;�� 25.4mm-0mm������ڡ���
\evensidemargin 0mm %����;�� 25.4mm-0mm�������ڡ���
\textwidth 160mm
%
\begin{document}
\title{��ʬ}
\author{���ܾ���\thanks{��Ω����ˡ�͡����Ĺ��ȹ�������ع����ŵ����ز�}}
\date{2006ǯ1��27��}
\maketitle
%
%
%=====================================================================
\section{�Ϥ����}
%=====================================================================
���ؤμ��Ȥǳؽ������褦�ˡ��ɤ��ʣ���ʴؿ��Ǥ���ʬ�ϲ�ǽ�Ǥ��롥��������ʬ�Ȥ�
��Ȥ����Ϥ����ʤ�����ʬ�γؽ��Ǥϡ��ɤΤ褦�ˤ�����ʬ��Ԥ����Ȥ������������ʥ�
���˥å���ؤ���Ϥ��Ǥ��롥��ʬ����٤�С�����Ū�˷׻����񤷤����Ȥ�и��Ѥߤ�
��������

�㤨�С�������ʬ�ۤ�ɽ���ʲ��δؿ���ͤ��롥
%
\begin{align}
 f(x)=e^{-x^2}
 \label{eq:gauss_distribution_function}
\end{align}
%
���δؿ�����ʬ���뤳��(Ƴ�ؿ�)�ϡ���ñ��
%
\begin{align}
f^\prime(x)=-2xe^{-x^2}
\end{align}
%
�Ȥʤ뤳�Ȥ�������ɬ�פ��ʤ��Ǥ����������ޤǳؽ����Ƥ����褦�ˡ������ؿ���ɽ����
�Ȥ��Ǥ���ؿ�����ʬ�ϡ������ؿ���ɽ���Ǥ���ΤǤ��롥�פ������ʬ(Ƴ�ؿ�)���ͤ�
��᤿���Ȥ��ˤϡ��ʹ֤��ºݤ���ʬ�򤷤ơ������ؿ���׻�����Ф褤�ΤǤ��롥

��������ʬ�Ȥʤ�Ȥ����Ϥ����ʤ�����μ�(\ref{eq:gauss_distribution_function})��
������ʬ������ؿ���ɽ�����Ȥ��Ǥ��ʤ��������ؿ�����Ǥ����ؿ��Ǥ������Ȥ⡤����
��ʬ�Ͻ����ؿ����ϰϤ�Ķ���뤳�Ȥ����롥������Ȥ��äơ�����ʬ����(����)�������
�����櫓�ǤϤʤ���

���������׻��򤷤Ƥ���ȡ�������ʬ�ϤǤ��ʤ���������ʬ���ͤ�ɬ�פʾ�礬���Ф���
ˬ��롥���ΤȤ��ˡ������ǳؽ���������ʬ����ͷ׻��ǵ���ƥ��˥å����Ȥ��롥

����ʬ�ϡ���\ref{fig:����ʬ������}�˼����褦�����Ѥη׻��ˤʤ롥�������äơ�ľ��
Ū�ˤ狼��䤹�������륭��ǥ��λ��夫�餢�ä�����������ʬˡ�ϥ˥塼�ȥ�λ����
����ȡ����褽2000ǯ�γ���������ΤǤ��롥
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/integral.eps}
  \caption{����ʬ������}
  \label{fig:����ʬ������}
 \end{center}
\end{figure}
%
%=====================================================================
\section{�������}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��������ε����}
%---------------------------------------------------------------------
����ʬ��
%
\begin{align}
 S=\int_a^bf(x)dx
\end{align}
%
�ζ���ͤ���ͷ׻��ǵ��뤳�Ȥ�ͤ��롥��ʬ�η׻��ϡ���˼������褦�����Ѥη׻�
�Ǥ��뤫�顤��\ref{fig:trapezoidal_rule}�Τ褦����������Ѥ��¤Ƕ�����Ǥ���Ǥ�
��������ʬ���ϰ�$[a,b]$��$N$��ʬ��������Ƕ����������T�ϡ�
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  T&=h\frac{f(a)+f(a+h)}{2}+
     h\frac{f(a+h)+f(a+2h)}{2}+
     h\frac{f(a+2h)+f(a+3h)}{2}+\cdots\\
     &\hspace*{85mm} +h\frac{f(a+(N-1)h)+f(a+Nh)}{2}\\
  &=\frac{h}{2}\sum_{j=0}^{N-1}\left[f(a+jh)+f(a+(j+1)h)\right]
 \end{aligned}
\label{eq:�������}
\end{equation}
%
�Ȥʤ롥���줬������ʬ����������Ǥ��롥�ʤ�Τ��ȤϤʤ�����ʬ����������Ѥ��֤�
�����Ƥ�������Ǥ��롥
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/trapezoidal.eps}
  \caption{��ʬ����������Ѥ����}
  \label{fig:trapezoidal_rule}
 \end{center}
\end{figure}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��������θ����ˤĤ���}
%---------------------------------------------------------------------
��������ˤ�������ʬ�Ǥϡ�ʬ���$N$���礭������Ȥ��θ����Ͼ������ʤ뤳�Ȥ�ľ
����ʬ���롥����Ǥϡ�ʬ��������䤷�Ƥ����ȤɤΤ褦�����٤��ɤ��ʤ�Τ��ͤ��Ƥ�
�褦��

�ޤ��ϡ���\ref{eq:�������}�Τ����Ĥ���������Ѥȼºݤ���ʬ���ͤ���Ӥ��롥��
��������$t$�ϡ����������ꡤ
%
\begin{align}
t=\frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_1+h)]
\label{eq:1�Ĥ����������}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����ºݤ���ʬ
%
\begin{align}
s=\int_{x_1}^{x_1+h}f(x)dx
\label{eq:������б�������ʬ}
\end{align}
%
����Ӥ��뤳�Ȥˤ��롥�����2�Ĥμ��η������󤼤�㤦�Τ���ӤǤ��ʤ��ȹͤ��뤫
�⤷��ʤ��������Τ褦�ʾ��ξ�����ʤ����롥���Τ褦�ʤȤ��ˤϡ��ơ��顼Ÿ����
������ɤ��ΤǤ��롥��(\ref{eq:1�Ĥ����������})��$x_1$�μ���ǡ��ƥ��顼Ÿ����
���
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  t&=\frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_1+h)]\\
  &=\frac{h}{2}\left[f(x_1)+f(x_1)+f^\prime(x_1)h
  +\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{2!}h^2
  +\frac{f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{3!}h^3+\cdots\right]\\
  &=f(x_1)h+\frac{f^\prime(x_1)}{2}h^2
  +\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{2\times2!}h^3
  +\frac{f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{2\times3!}h^4+\cdots
  \label{eq:1�Ĥ���������ѤΥƥ��顼Ÿ��}
 \end{aligned}
\end{equation}
%
�Ȥʤ롥���줬��������ѤΥƥ��顼Ÿ���Ǥ��롥��������ʬ��
��(\ref{eq:������б�������ʬ})��ƥ��顼Ÿ�����롥����ϡ�
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  s&=\int_{x_1}^{x_1+h}f(x)dx \\
  %
  &=\int_0^hf(x_1+\xi)d\xi \\
  % 
  &=\int_0^h\left[
  f(x_1)
  +f^\prime(x_1)\xi
  +\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{2!}\xi^2
  +\frac{f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{3!}\xi^3
  +\cdots\right]d\xi\\
  %
  &=\left[
  f(x_1)\xi
  +\frac{f^\prime(x_1)}{2}\xi^2
  +\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{3\times 2!}\xi^3
  +\frac{f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{4\times 3!}\xi^4
  +\cdots
  \right]_0^h\\
  %
  &=f(x_1)h
  +\frac{f^\prime(x_1)}{2}h^2
  +\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{3\times 2!}h^3
  +\frac{f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{4\times 3!}h^4
  +\cdots
\label{eq:������б�������ʬ�Υƥ��顼Ÿ��}
 \end{aligned}
\end{equation}
%
�Ȥʤ롥����2�Ĥμ�(\ref{eq:1�Ĥ���������ѤΥƥ��顼Ÿ��})��
( \ref{eq:������б�������ʬ�Υƥ��顼Ÿ��})������Ǥζ����
�ޤäȤ�����ʬ��Ԥä��Ȥ��Υƥ��顼Ÿ
����ɽ���������μ�����٤�ȡ���߶�$h$��2 ���ޤǰ��פ��Ƥ��롥�ۤʤ�Τ�3����
�ߤǡ���ʬ�θ����ϡ�
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  |s-t|&=\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{2\times2!}h^3
  -\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{3\times 2!}h^3
  +O(h^4)\\
  &=\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{12}h^3+O(h^4)
 \end{aligned}
\end{equation}
%
��ɽ���롥¨������ʬ������Ƕ�������ҤȤĤζ�֤θ����ϡ��������$h^3$�Ǹ�����
����ΤǤ��롥���äơ���ʬ�Υȡ�����θ����ϡ�������֤θĿ�$N$��褸��
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  |S-T|&=N|s-t|\\
  &=N\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{12}h^3\\
  &=N\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{12}\left(\frac{b-a}{N}\right)^3\\
  &=\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{12}\frac{(b-a)^3}{N^2}
 \end{aligned}
\end{equation}
%
�Ȥʤ롥�פ������ʬ�θ����ϡ�ʬ���$N^2$��ȿ���㤹�롥ʬ�����10�ܤ�
����С���ʬ�θ�����1/100�ˤʤ�櫓�Ǥ��롥
%
%=====================================================================
\section{����ץ���θ���}
%=====================================================================
��������ιͤ����ϴ�ñ�Ǥ��뤬�����٤Ϥ��ޤ�褯�ʤ��������ǡ��褯�����ͤ�������
�٤��ɤ�����ץ���θ������������롥��������ϡ�ʬ�������ͤ�켡�ؿ�(ľ��)�Ƕ��
��Ԥ���ʬ��Ԥä����פ�����ޤ�������Ǥ��롥�����ǡ�1���ؿ��ǤϤʤ����⼡�δ�
���Ƕ����Ԥ��Ф�����٤��夬�뤳�Ȥϡ�ľ��Ū��ʬ���롥

2���ؿ��Ƕ����Ԥ����Ȥ�ͤ��롥2���ؿ��Ƕ�����뤿��ˤϡ�3��ɬ�פǤ��롥3�Ĥ�
ʬ���򤽤줾�졤$(x_j,\,x_{j+1},\,x_{j+2})$�Ȥ��롥�����ơ�����2���ؿ���$P(x)$��
���롥$P(x)$�ϥ饰��󥸥���֤�¾�ʤ�ʤ��Τǡ�
%
\begin{multline}
 P(x)=\frac{(x-x_{j+1})(x-x_{j+2})}{(x_j-x_{j+1})(x_j-x_{j+2})}f(x_j)
 +\frac{(x-x_j)(x-x_{j+2})}{(x_{j+1}-x_j)(x_{j+1}-x_{j+2})}f(x_{j+1})\\
 +\frac{(x-x_j)(x-x_{j+1})}{(x_{j+2}-x_j)(x_{j+2}-x_{j+1})}f(x_{j+2})
 \label{eq:simpson_parabora_approx}
\end{multline}
%
�Ȥʤ롥��\ref{fig:simpson_rule}�˼����Ȥ���Ǥ��롥
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/simpson.eps}
  \caption{���δؿ�����$[x_j,x_{j+2}]$��2���ؿ��Ƕ������}
  \label{fig:simpson_rule}
 \end{center}
\end{figure}
%

����򡤶��$[x_j,\,x_{j+2}]$����ʬ���롥���̤��Թ�塤��
(\ref{eq:simpson_parabora_approx})�α��դ�ƹ������ʬ��Ԥ����ޤ���������1���
���뤬������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ롥
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
 \text{��(\ref{eq:simpson_parabora_approx})������1�����ʬ}
  &=\int_{x_j}^{x_{j+2}}
  \frac{(x-x_{j+1})(x-x_{j+2})}{(x_j-x_{j+1})(x_j-x_{j+2})}f(x_j)dx\\
  %
  &=\int_0^{2h}
  \frac{(x_j+\xi-x_{j+1})(x_j+\xi-x_{j+2})}{(x_j-x_{j+1})(x_j-x_{j+2})}f(x_j)d\xi\\
  %
  &=\int_0^{2h}\frac{(\xi-h)(\xi-2h)}{(-h)(-2h)}f(x_j)d\xi\\
  &=\frac{f(x_j)}{2h^2}\int_0^{2h}\left(\xi^2-3h\xi+2h^2\right)d\xi\\
  &=\frac{f(x_j)}{2h^2}
  \left[\frac{\xi^3}{3}-3h\frac{\xi^2}{2}+2h^2\xi\right]_0^{2h}\\
  &=\frac{h}{3}f(x_j)
 \end{aligned}
 \label{eq:simpson_1st_term}
\end{equation}
%
Ʊ�ͤˡ���2,3���׻������
%
\begin{align}
 \text{��(\ref{eq:simpson_parabora_approx})������2�����ʬ}
  &=\frac{4h}{3}f(x_{j+1})\\
 \text{��(\ref{eq:simpson_parabora_approx})������3�����ʬ}
  &=\frac{h}{3}f(x_{j+2})
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�ʾ��ꡤ�������2���ؿ�$P(x)$���ϰ�$[x_j,\,x_{j+2}]$����ʬ�ϡ�
%
\begin{align}
 \int_{x_j}^{x_{j+2}}P(x)dx
 =\frac{h}{3}\left\{f(x_j)+4f(x_{j+1})+f(x_{j+2})\right\}
 \label{eq:simpson_2h}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥
%

����ϡ�������$[x_j,\,x_{j+2}]$����ʬ�ǡ����ζҤ�$2h$�Ǥ��롥���$[a,\,b]$�ˤ�
���äƤ���ʬ$S$�ϡ���(\ref{eq:simpson_2h})��­����碌��Ф褤����������
$j=0,2,4,6$��­����碌�롥
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  S&=\frac{h}{3}\left\{f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right\}
  +\frac{h}{3}\left\{f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\right\}
  +\frac{h}{3}\left\{f(x_4)+4f(x_5)+f(x_6)\right\}+\cdots\\
  &\hspace*{70mm}\cdots+
  \frac{h}{3}\left\{f(x_{N-2})+4f(x_{N-1})+f(x_{N})\right\}\\
  %
  &=\frac{h}{3}\left\{f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)
  +2f(x_4)+4f(x_5)+2f(x_6)+\cdots\right.\\
  &
\hspace*{70mm}\left.\cdots+2f(x_{N-2})+4f(x_{N-1})+f(x_N)\right\}
 \end{aligned}
\end{equation}
%
���줬������ץ���θ����ȸƤФ���Τǡ���ۤɤ���������������٤��ɤ�������
�ϡ�$N^4$��ȿ���㤹�롥

���μ����顤ʬ���$N$�϶����Ǥʤ��ƤϤʤ�ʤ����Ȥ��狼�롥��������դ��ơ��ץ�
������������褦��
%=====================================================================
\section{����С�����ʬˡ}
%=====================================================================
��̣�Τ���Ԥϡ��Ƽ��ٶ����补
%=====================================================================
\section{���ƥ������ʬˡ}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{ñ��ʾ��(������������)}
%---------------------------------------------------------------------
�����Ǥϡ����ƥ����ˡ(Monte Carlo method)�ƤФ�������Ȥä������Ѥ�ä�����
��ʬ����ˡ�򼨤������ƥ�����Ȥ�ͭ̾�ʥ�ʥ��Υ����Τǡ����Ǥ򤹤�Ȥ����Ǥ��롥
������ˡ�򾯤��ؽ�����ȡ�̾����ͳ�褬ʬ���ä��褦�ʵ��ˤʤ�Ϥ��Ǥ��롥��

�ޤ��ϡ���\ref{fig:MonteCaro_method}���ͤʱߤ����Ѥ���뤳�Ȥˤ��롥������󡤤���
�ߤ����Ѥ�$\pi$��ʬ���äƤ��뤬�������������Ѥ��ƿ��ͷ׻����褦�ȸ����ΤǤ��롥
�ߤ�Ϥ������������ˤϡ���������������롥�����������ˤ������θĿ���$N_s$���ߤ�
�����ˤ���Ŀ���$N_c$�Ȥ��롥�����ơ������������Ѥ�$S_s$���ߤ�$S_c$�Ȥ��롥����
�ȡ������ˤ�
%
\begin{align}
 \frac{S_c}{S_s}\simeq\frac{N_c}{N_s}
\end{align}
%
�δط������롥����������ο����ä�����ȡ������ϡ��ۤȤ�������Ƿ�Ф��Ǥ�
������������ñ���������������$S_s$��ʬ���äƤ���Τǡ��ߤ�����$S_c$��
%
\begin{align}
 S_c\simeq\frac{N_c}{N_s}S_s
 \label{eq:area_monte_carro}
\end{align}
%
�ȷ׻��Ǥ��롥���ο������䤹�ȡ����줬�������ʬ�ۤ���¤ꡤ���դϱߤ����Ѥ˶�
�Ť��������������Ѥ����ο���׻���������Ǳߤ����Ѥ�ʬ����ΤǤ��롥���Τ褦�˥�
��������(���)���Ѥ��ơ���ʬ������ˡ����ƥ������ʬ�ȸ�����

�ߤ����Ѥ���Ƥ��礷�����ȤϤʤ������㤨�п�\ref{fig:MonteCaro_method_complex}�Τ�
����ʣ���ʷ��������Ѥ��׻��Ǥ���Ȥʤ�Ȥ��äȸ����פϤ��롥��ۤɤαߤ����Ѥ�Ʊ
���褦�ˤ��ơ��׻��Ǥ���ΤǤ��롥�׻���������ʬ������ο�$N_{in}$�ϡ�
%
\begin{align}
 N_{in}&=(\text{���}\Omega_0\text{����������})
 -(\text{���}\Omega_0\text{�������ľ���}\Omega_1\text{����������})
 \nonumber \\
 &\qquad\qquad
 -(\text{���}\Omega_0\text{���������ʱ�}\Omega_2\text{����������})
 -(\text{���}\Omega_0\text{��������������}\Omega_3\text{����������})
\end{align}
%
������äơ����������ο���Ĵ�٤ơ���ϡ���(\ref{eq:area_monte_carro})�Τ褦�ˤ���
�����Ѥ���뤳�Ȥ��Ǥ��롥

���Τ褦��ʣ�����ΰ����ʬ�Ǥ�Ŭ�ѤǤ��������ϰϤι�����ˡ�Ǥ��롥��ʬ��
���٤�夲�褦�Ȥ���ȡ�����ץ��$N$�����䤹���Ȥˤʤ롥���������������٤ϡ���
����������ץ����ʿ���������㤹��ΤߤǤ��롥������1/10�ˤ�������С�����ץ��
��100�ܤˤ���ɬ�פ����롥�׻����֤�100�ܤˤʤ롥���줬��������ˡ�κ���μ����Ǥ��롥

���٤�����ץ����ʿ���������㤹��Τϡ�������������ꤷ�Ƥ��뤫��Ǥ��롥����
��׻�����ȯ�������뤳�Ȥ��Բ�ǽ�ʤΤǡ���������������Ȥʤ롥�Ǥ�������ɤ����
��Ȥ�ʤ��ƤϤʤ�ʤ�������������ϱ��������������ǤϤ���ʾ�Ω������ʤ�������
̣�Τ���Ԥ�Ĵ�٤Ƥߤ���ɤ���

�ä��Ѥ�뤬���ҤȤ����դ�Ϳ���Ƥ������ºݤΥץ������Ǥϡ������Ȥä�$(x,y)$
��ȯ�������ơ����줬�����ˤ��뤫�ݤ��򤽤ξ��Ƚ�Ǥ��롥����˺�ɸ�ǡ���������ơ�
�Ǹ�˸�������ȥ��꡼�������餢�äƤ�­��ʤ��ʤ뤫��Ǥ��롥
%
%----------- ���ƥ������ʬ ----------------------------
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{tabular}{cc}  
  %---- ñ��ʱ� -------------------
  \begin{minipage}[t]{0.45\hsize}
   \begin{center}
    \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/MonteCarlo.eps}
    \caption{���ƥ������ʬ����������˥����������Ф�ޤ�������������ο�
  �����䤻�С���������ȱ�������ο����椬���������ȱߤ����Ѥ���ˤʤ롥}
    \label{fig:MonteCaro_method}
   \end{center}
  \end{minipage} &
  %---- ʣ������ -----------
  \begin{minipage}[t]{0.45\hsize}
   \begin{center}
    \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/MonteCarlo_complex.eps}
    \caption{�������Ѥ����Ū�˷׻�����Τϡ��������ݤǤ��롥}
    \label{fig:MonteCaro_method_complex}
   \end{center}
  \end{minipage}
 \end{tabular}
\end{figure}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{ʣ������ʬ}
%---------------------------------------------------------------------
�⤦����ʣ������ʬ��ɬ�פʾ���ͤ��Ƥߤ褦������ؿ�$f(x_1,x_2,x_3,\cdot,x_M)$
��������ʬ��ͤ��롥����������ʬ��
%
\begin{align}
 \int_\Omega f(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_M)dx_1dx_2dx_3\cdots dx_M=
 V\langle f \rangle
 \label{eq:int_f_dx1_dxM}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����ǡ�$V$��M�����Τ��ΰ�$\Omega$�����ѡ�$\langle f \rangle$�Ϥ�������
�δؿ���ʿ���ͤǤ��롥�����3�����Τμ��̤�ͤ���ȴ�ñ�Ǥ��롥���μ��̤ϡ�̩��
��������ʬ�Ȥʤ롥��������Ѥ�ʿ��̩�٤�褸���ͤ������������������μ��Ǥ��롥��
�Τ��Ȥ��顤��(\ref{eq:int_f_dx1_dxM})����ʬ���ͤ��ߤ�����С����Ѥ�ʿ���ͤ�ʬ��
��Ф褤���Ȥˤʤ롥

��ʬ��׻����뤿��ˡ��ޤ������ѤǤ��롥��ۤɤϡ��󼡸�����Ǥ��뤬���Ϥ��ʤ�ʣ
���ʷ��������Ѥ���ƥ������ʬ�Ƿ׻�������ˡ�򼨤�����2������Ʊ���ͤ��ǡ�3������
4������$\cdots$��M���������Ѥ����Ū���ưפ˵��뤳�Ȥ��Ǥ��롥ʬ�����ڤä�����
�ˡ��ΰ�$\Omega$����߹��ߡ����������˥���������֤��줿����ץ����ο��������
���ɤ��ΤǤ��롥���Ѥη׻��ϴ�ñ�Ǥ��롥

�Ĥ�ϡ�����������ʿ��$\langle f \rangle$�Ǥ��롥������ñ�ǡ��ΰ�$\Omega$����
�ˤ��륵��ץ�����ʿ�Ѥ����뤳�Ȥ��Ǥ��롥¨����
%
\begin{align}
 \langle f \rangle\simeq\frac{1}{N_{in}}\sum_i f(\vm{r}_i)
 \qquad\text{�ΰ�$\Omega$�������Τ�}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����ǡ�$\vm{r}_i$��$i$���ܤΥ���ץ�����$(x_1,x_2,x_3,\cdot,x_N)$��ɸ��
���롥�ޤ���$N_{in}$���ΰ������Υ���ץ���Ǥ��롥���η׻����ñ�ǡ�����ԥ塼����
����ʤ���ʿ���ͤ˶���ͤ���뤳�Ȥ��Ǥ��롥

�ʾ��ꡤ���ƥ����ˡ���Ѥ���ȡ�����$V$��ʿ����$\langle f \rangle$�ζ���ͤ�
�׻��Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롥���äơ���(\ref{eq:int_f_dx1_dxM})�ζ���ͤ���뤳�Ȥ�
�Ǥ��롥

���ͷ׻���ͭ̾���ܡ�NUMERICAL RECIPES in C��~\cite{NRC}�ˤϡ���
\ref{fig:NRC_example}���ͤʷ����νſ���������꤬�ФƤ��롥���Τ褦��ʣ������
ʬ��ɬ�פʤȤ��˥��ƥ����ˡ�ϰ��Ϥ�ȯ�����롥
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=0.5]{figure/NRC_example.eps}
  \caption{��NUMERICAL RECIPES in C�פ����ꡥ�������ڤ���줿�ȡ��饹�νſ���
  ���롥}
  \label{fig:NRC_example}
 \end{center}
\end{figure}
%
%
%=====================================================================
\section{��������ȥ�ݡ���}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{����}
%---------------------------------------------------------------------
%---------------------------
\subsubsection{����}
%---------------------------
�����ؽ�������3�̤����ˡ��Ⱦ��1�αߤ����Ѥ���补�ºݤη׻��ϡ���
\ref{fig:Question1}�Τ褦�ˡ�1/4��׻����ơ������4�ܤ��롥
%
\begin{itemize}
 \item ���������Ȥä���ʬ
 \item ����ץ���θ�����Ȥä���ʬ
 \item ���ƥ������ʬ
\end{itemize}
%
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=0.5]{figure/Question1.eps}
  \caption{�ߤ�����}
  \label{fig:Question1}
 \end{center}
\end{figure}
%
%---------------------------
\subsubsection{����äȱ���}
%---------------------------
���ƥ������ʬ��Ȥäơ���\ref{fig:Question2}�����Ѥ�׻����补����ϡ�Ⱦ��1��
���줬ľ�򤷤ƽŤʤä���ʬ�����ѤǤ��롥
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=0.5]{figure/Question2.eps}
  \caption{ľ�򤹤���졥3��ˡ�Ǽ����Ƥ��롥}
  \label{fig:Question2}
 \end{center}
\end{figure}
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��ݡ���}
%---------------------------------------------------------------------
���ܤ�3��Ȥ���äȱ��Ѥ�1��η�4��Τ��������ʤ��Ȥ�ҤȤĤ�����Υ������ץ���
������Ф��뤳�ȡ���
%
\begin{quote}
 \begin{tabular}{ll}
  ���� & 2��3��(��)PM5:00�ޤ� \\
  �ѻ� & A4 \\
  ��о�� & ���ܸ��漼�������Υݥ��� \\
  ɽ�� & ɽ���1��Ĥ��ơ��ʲ��ι��ܤ�ʬ����䤹�����Ҥ��뤳�ȡ�\\
       & \qquad ���Ȳ���̾�ַ׻������ѡ�\\
       & \qquad ����̾����ʬ��\\
       & \qquad 5E\quad �����ֹ�\quad ��̾\\
       & \qquad �����\\
 \end{tabular}
\end{quote}
%
%======= ����ʸ�� ====================================================
\bibliographystyle{junsrt}
\bibliography{data.bib} 
%
%=====================================================================
%
%=====================================================================
%
\end{document}



