\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,theorem}
\oddsidemargin 0mm  %左の余白 25.4mm-0mm　奇数ページ
\evensidemargin 0mm %左の余白 25.4mm-0mm　偶数ページ
\textwidth 160mm
%-- http://www.ms.saga-u.ac.jp/~hirose/TexLec/tex-section.html --
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{axion}{公理}[section]
\newtheorem{theorem}{定理}[section]
%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{define}{定義}[section]
%
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{rem}{注意}
\newtheorem{prf}{【証明】}
%
%
\begin{document}
\title{練習問題解答} 
\author{山本昌志\thanks{国立秋田工業高等専門学校　電気工学科}}
\maketitle
%=====================================================================
\section{高階の常微分方程式}
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高階の常微分方程式を連立1階微分方程式に書き換えるという問題です。それ
により高階の微分方程式でも、ルンゲ・クッタ法が使えるようになります。
%
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\subsection{問題(1)}
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\begin{align}
 y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+5y=0
\end{align}
%
これは2階の常微分方程式ですから、2元1階常微分方程式に変形できるはずです。
まず、
%
\begin{equation}
 \left\{
 \begin{aligned}
  y_0(x)&=y(x)\\
  y_1(x)&=y^{\prime}(x)
 \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:2階の変換式}
\end{equation}
%
と変数の変換をします。この変数変換により、
%
\begin{align}
 \frac{dy_0}{dx}=y_1
 \label{eq:問1の2階の連立式1}
\end{align}
%
が直ちに導けます。これは求める2つの式の1つになります。

もう一つは、問題で与えられている式に変数変換の式(\ref{eq:2階の変換式})
を適用します。すると、
%
\begin{align}
 &y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+5y=0\\
 &\frac{dy_1}{dx}+3y_1+5y_0=0\\
 \label{eq:問1の2階の連立式2}
\end{align}
%
となります。ここでは、
%
\begin{align}
 \frac{dy_1}{dx}=y^{\prime\prime}
\end{align}
%
を利用したことを忘れないでください。

したがって、式(\ref{eq:問1の2階の連立式1}),
(\ref{eq:問1の2階の連立式2})から、連立方程式は、
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   \frac{dy_0}{dx}&=y_1\\
   \frac{dy_1}{dx}&=-5y_0-3y_1
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:問1の解答}
\end{equation}
%
となります。これが問題に対する解答です。
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{問題(2)}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{align}
 y^{\prime\prime}+6y^{\prime}+y=0
\end{align}
%
問題1と同じ方法で式を変形します。すると、
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   \frac{dy_0}{dx}&=y_1\\
   \frac{dy_1}{dx}&=-y_0-6y_1
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:問2の解答}
\end{equation}
を導くことができます。
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{問題(3)}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{align}
 5y^{\prime\prime}+2xy^{\prime}+3y=0
\end{align}
%
これも問題(1)と同じです。ただ、式の中に$x$が入っているだけです。問題
(1)の式(\ref{eq:2階の変換式})と同じ変数変換すると、問題の式は、
%
\begin{align}
 5\frac{dy_1}{dx}+2xy_1+3y_0=0
\end{align}
%
と変形できます。したがって、求める連立方程式は
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   \frac{dy_0}{dx}&=y_1\\
   \frac{dy_1}{dx}&=-\frac{1}{5}(3y_0+2xy_1)
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:問3の解答}
\end{equation}
%
となります。
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{問題(4)}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{align}
 y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}+xy=0\\
\end{align}
%
これは3階の常微分方程式ですが、考え方は2階の場合と全く同じです。変数の
変換が
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   y_0(x)&=y(x)\\
   y_1(x)&=y^{\prime}(x)\\
   y_2(x)&=y^{\prime\prime}(x)
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:3階の変換式}
\end{equation}
%
となるだけです。この変数変換によって、
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   \frac{dy_0}{dx}&=y_1\\
   \frac{dy_1}{dx}&=y_2
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:問4の3階の連立式1}
\end{equation}
%
を直ちに導くことができます。問題の式にこれらを代入すると
\begin{align}
 \frac{dy_2}{dx}+y_1+xy_0=0
 \label{eq:問4の3階の連立式2}
\end{align}
%
となります。式(\ref{eq:問4の3階の連立式1}),
(\ref{eq:問4の3階の連立式2})から求める連立方程式は、
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   \frac{dy_0}{dx}&=y_1\\
   \frac{dy_1}{dx}&=y_2\\
   \frac{dy_2}{dx}&=-xy_0-y_1
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:問4の解答}
\end{equation}
%
です。
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{問題(5)}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{align}
 5y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=\sin(\omega x)\\
\end{align}
%
右辺に$\sin(\omega x)$があり非同次微分方程式となっていますが、新しいこ
とは何もありません。問(1)と同じように変数変換して、計算するだけです。
解答は以下の通りです。
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   \frac{dy_0}{dx}&=y_1\\
   \frac{dy_1}{dx}&=\frac{\sin(\omega x)-y_0-y_1}{5}
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:問5の解答}
\end{equation}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{問題(6)}
%--------------------------------------------------------------------
\begin{align}
 xy^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=e^{x}\\
\end{align}
%
これも問(5)とほとんど同じです。
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   \frac{dy_0}{dx}&=y_1\\
   \frac{dy_1}{dx}&=\frac{e^x-y_0-y_1}{x}
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:問6の解答}
\end{equation}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{問題(7)}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{align}
 5y^{\prime\prime}y^{\prime}+y^{\prime}+y=0\\
\end{align}
%
非線形項$y^{\prime\prime}y^{\prime}$がありますが、同じ考え方で式の変
形ができます。
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   \frac{dy_0}{dx}&=y_1\\
   \frac{dy_1}{dx}&=-\frac{y_0+y_1}{5y_1}
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:問7の解答}
\end{equation}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{問題(8)}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{align}
 y^{\prime\prime}y^{\prime}+x^2y^{\prime}y+y=0\\
\end{align}
%
これも、問(7)と同じ非線形の微分方程式です。
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   \frac{dy_0}{dx}&=y_1\\
   \frac{dy_1}{dx}&=-\frac{x^2y_0y_1+y_0}{y_1}
  \end{aligned}
 \right.
 \label{eq:問8の解答}
\end{equation}
%
%=====================================================================
\end{document}
%=====================================================================




