%=====================================================================
% ���Ĺ��� 5E �׻������ѥƥ�����
%�����¸��½��ơ��ޡ�ϢΩ�켡������(ȿ��ˡ)
%    �ܥƥ����Ȥ�����
%����������������гѲ�
%����������ȿ��ˡ�δ���
%�����������䥳��ˡ
%       ���������������ǥ�ˡ
%       ��SORˡ
%
% last updated 2005.12.9
%    created by  Masashi Yamamoto
%     e-mail yamamoto@akita-nct.jp
%=====================================================================
\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,float,verbatim,multirow,bigdelim}
%
\oddsidemargin 0mm  %����;�� 25.4mm-0mm������ڡ���
\evensidemargin 0mm %����;�� 25.4mm-0mm�������ڡ���
\textwidth 160mm
%
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\hugesymbol}[1]{\mbox{\strut\rlap{\smash{\Huge$#1$}}\quad}}
\newcommand{\grad}[1]{\nabla #1}
\renewcommand{\div}[1]{\nabla\cdot #1 }
\newcommand{\rot}[1]{\nabla\times #1}
\newcommand{\pdiff}[3]{
\if 1#1 \frac{\partial #2}{\partial #3}
\else
\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}
\fi
}
%
\begin{document}
\title{ϢΩ�켡������(ȿ��ˡ)}
\author{���ܾ���\thanks{��Ω���Ĺ��ȹ�������ع����ŵ����ز�}}
\date{2005ǯ12��9��}
\maketitle
%
%
%=====================================================================
\section{�Ϥ����}
%=====================================================================
����ޤǡ�����������������ˡ��LUʬ����Ѥ���ϢΩ1���������β�������ˡ���
����������������ˡ�ϡ�����β���׻�����в򤬵�ޤ�ľ��ˡ�ȸ�������ˡ�Ǥ��롥
������ˡ�ϡ�ɬ���򤬵�ޤ�ȿ�̡��׻����֤������뤳�Ȥ�¿�����礭��ϢΩ���������
������ˤ��Ը����Ǥ��롥�����ǡ������ϡ��׻����֤��������٤Ƴ��ʤ��ᤤ��ȿ��ˡ
��ؽ����롥

ȿ��ˡ����Ω�äơ���������������򤹤롥�����Ф��ꡤȿ��ˡ��������ɬ�פʤΤǤ��롥
ȿ��ˡ�λȤ������񤷤��ʤ��Τǡ����Υץ��Ȥ�ʬ�Ǥ������ɤ������Ǥ���Ϥ�
�Ǥ��롥
%=====================================================================
\section{������гѲ��ȱ���}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------
\subsection{��ͭ�ͤȸ�ͭ�٥��ȥ�}
%---------------------------------------------------------------
���Ǥ˹���θ�ͭ�ͤȸ�ͭ�٥��ȥ�ˤĤ��Ƥϡ��ؽ����Ƥ���Ϥ��Ǥ��뤬��˺��Ƥ���
�Ԥ�¿���Ȼפ��Τ������򤷤Ƥ������������������Ǥϼ�갷�������ݤʹ����㤨��ʣ
����Ʊ����ͭ��(����)����Ĥ褦�ʹ���ʤɤϹͤ��ʤ���ΤȤ��롥

����$\vm{A}$�θ�ͭ�ͤ�$\lambda$����ͭ�٥��ȥ��$\vm{x}$�Ȥ���ȡ������ˤϡ���
�δط������롥
\begin{equation}
 \vm{A}\vm{x}=\lambda\vm{x}
\label{eq:eigen_eq}
\end{equation}
�Ĥޤꡤ����$\vm{A}$�ϥ٥��ȥ���Ѵ����뤬�����줬��ͭ�٥��ȥ�ξ�硤��ͭ�ͤξ褸
���Ѵ��������ʤ��ΤǤ��롥�פ���ˡ�����$\vm{A}$�ˤ����̤�����$\vm{x}$���礭��
$\lambda$������ΤǤ��롥

��ͭ�ͤϡ���(\ref{eq:eigen_eq})���ѷ����ơ�
\begin{align}
 (\vm{A}-\lambda\vm{I})\vm{x}=0
\end{align}
������롥������󡤤��μ�����$\vm{x}=0$�Ȥ�����⤢�뤬������ϤĤޤ�ʤ��Τ�
��̣���оݳ��Ǥ��롥����ʳ���ͭ�Ѥʲ�ϡ�
\begin{align}
 \det(\vm{A}-\lambda\vm{I})=0
\end{align}
�ξ��������롥�����������������������Ȥ�����$\vm{A}$��n������������Ǥ���С�
�����n���������ˤʤ�Τǡ�n�Ĥβ򤬤��롥�ޤ�����˱����ơ�n�Ĥθ�ͭ�٥��ȥ뤬
���롥

���Τ褦�ˤ��ơ��������줷�����Ȥ����ȡ�������ϢΩ��ʬ��������򤤤��ꤹ��Ȥ���
������ˡ���������Ω�ĤΤǤ��롥
%
%---------------------------------------------------------------
\subsection{������гѲ�}
%---------------------------------------------------------------
��ͭ�٥��ȥ����٥��ȥ�Ȥ��ơ�n���¤٤����$\vm{X}$��ͤ��롥¨����
\begin{align}
\vm{X}=[\vm{x}_1,\vm{x}_2,\vm{x}_3,\cdots,\vm{x}_n ]
\end{align}
�Ǥ��롥�����ơ��г���ʬ�˸�ͭ�ͤ��¤٤��гѹ���
\begin{equation}
 \Lambda=\left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   \lambda_1 &                &           &                &      \\
             & \lambda_2      &           & \hugesymbol{0} &      \\
             &                & \lambda_3 &                &      \\
             & \hugesymbol{0} &           & \ddots         &      \\
             &                &           &                & \lambda_n \\
  \end{array}
       \right]
\end{equation}
��ͤ��롥

�����ι��󤫤顤
%
\begin{align}
 \vm{A}\vm{X}=\vm{X}\Lambda
\end{align}
%
��ľ����ʬ���롥���äơ�����$\vm{A}$�ϡ���ͭ�٥��ȥ뤫��ʤ������Ѥ���
%
\begin{align}
  \vm{X}^{-1}\vm{A}\vm{X}=\Lambda
  \label{eq:taikakuka}
\end{align}
%
���гѲ��Ǥ��롥����$\vm{X}$��$\vm{A}$���гѲ�����ȸ���������ˤ���ͭ�ͤ���
�ֹ�����гѲ��Ǥ��롥

�����ͤ˹�����ѷ����ơ��ʤˤ����줷���Τ�������ϡ����˼����褦�ˡ�����򲿲��
�軻����Ȥ��˷׻�������ȳڤˤʤ�ΤǤ��롥
%
%---------------------------------------------------------------
\subsection{����ξ軻}\label{subsec:multi_matrix}
%---------------------------------------------------------------
��ۤɤμ��ϡ�
%
\begin{align}
  \vm{A}=\vm{X}\Lambda\vm{X}^{-1}
\end{align}
%
�Τ褦�˽񤯤��Ȥ��Ǥ��롥���˹����n��軻���뤳�Ȥ�$\vm{A}^n$�Ƚ񤯤��Ȥˤ�
�롥�̾�ε���Ȥ��ʤ��Ǥ��롥����ȡ�
%
\begin{align}
  \vm{A}^n
  &=\vm{A}\vm{A}\vm{A}\cdots\vm{A} \nonumber \\
  &=\vm{X}\Lambda\vm{X}^{-1}\vm{X}\Lambda\vm{X}^{-1}
  \vm{X}\Lambda\vm{X}^{-1}\vm{X}\Lambda\vm{X}^{-1}\cdots
  \vm{X}\Lambda\vm{X}^{-1}\nonumber \nonumber \\
  &=\vm{X}\Lambda\Lambda\Lambda\cdots\Lambda\vm{X}^{-1} \nonumber \\
  &=\vm{X}\Lambda^n\vm{X}^{-1}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����ǡ�$\Lambda$���гѹ���ʤΤǡ����η׻��ϴ�ñ�ǡ�
%
\begin{equation}
 \Lambda^n=\left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   \lambda_1^n &              &           &                &      \\
             & \lambda_2^n    &           & \hugesymbol{0} &      \\
             &                & \lambda_3^n &              &      \\
             & \hugesymbol{0} &           & \ddots         &      \\
             &                &           &                & \lambda_n^n \\
  \end{array}
       \right]
\end{equation}
%
�Ȥʤ롥���줳�Ȥϡ���ͭ�ͤȸ�ͭ�٥��ȥ��Ȥäƥ٥��ȥ��ɽ������ȡ�����n���
��ñ�˷׻��Ǥ���ȸ��äƤ��롥
%
%=====================================================================
\section{ȿ��ˡ�δ���}
%=====================================================================
�����������ϡ�ʸ��~\cite{��������Ȥ��α���}�򻲹ͤˤ��ޤ���������ϡ����������
�ºݤˤɤΤ褦�˻Ȥ����Ҥ٤�줿���ʽ�ǡ��ܤ����񤫤�Ƥ��롥���������ºݤ˻�
����硤���ɤ��뤳�Ȥ�ʤ�롥���ƻ䤬��������ιֵ���������Ȥ������ޤ�ˤ���
��Ū�ǡ����äѤ�狼��ʤ��ä������θ塤���ζ��ʽ���ɤळ�Ȥˤ�ꡤ�ʤ�ۤ�����
�ʤ�ΤǤ���Ȥ�äȤ狼�ä��ΤǤ��롥
%
%---------------------------------------------------------------
\subsection{ȿ��ˡ�Ȥ�}
%---------------------------------------------------------------
���ơ����ޤޤǳؽ�����ľ��ˡ�Ϥ��Ĥ����׻�����С�ɬ���򤬵�ޤ롥���������礭��
ϢΩ��������׻�����ˤ��Ը����Ǥ��롥�ʤ��ʤ�С�����������������ˡ�η׻����
�ϡ��������θ�n��$n^3$�����㤹�뤿�ᡤ�礭�ʹ���ǤϤȤ���˷׻����֤�ɬ�פˤʤ�
����Ǥ��롥

����Ū�ʥץ������Ǥϡ������礭��ϢΩ��������׻����ʤ��ƤϤʤ�ʤ������Ȥ��С�
��θ��漼�Ǥη׻��Ǥ�10�������餤�Ϸ׻����Ƥ��롥����򡤥���������������ˡ��
�׻�����λ���Ū�ˤۤȤ���Բ�ǽ�Ǥ��롥�����ǡ�������ϳ��ʤ˷׻���®��ȿ��ˡ
���Ѥ��Ƥ��롥�����Ǥϡ�ȿ��ˡ���ñ���������롥

���������Ǥ⡤ϢΩ������
%
\begin{align}
  \vm{A}\vm{x}=\vm{b}
  \label{eq:linear_equations}
\end{align}
%
��������$\vm{x}$����ͷ׻��ˤ�ꡤ���뤳�Ȥˤʤ롥�����ǡ����β�$\vm{x}$�Ȥ��롥

�����ǡ�����׻��ˤ��n���ܤǵ���줿��Τ�$\vm{x}_n$�Ȥ��롥�����ơ��׻���������䤷�ơ�
%
\begin{align}
  \lim_{n\rightarrow\infty}\vm{x}_n=\vm{x}
\end{align}
%
�ˤʤä��Ȥ��롥�����ͤ˷׻���������䤷�ơ����β�˶�Ť�����ˡ��ȿ��ˡ�Ȥ�����

�����ͤ���ˡ�ϡ�����$\vm{A}$��$\vm{S}-\vm{T}$��ʬ�򤹤�����ǡ��ưפ˺�뤳�Ȥ�
�Ǥ��롥���Ȥ��С�
%
\begin{align}
  \vm{S}\vm{x}_{k+1}=\vm{T}\vm{x}_{k}+\vm{b}
  \label{eq:relaxation}
\end{align}
%
�Ȥ���Ф褤�������ǡ�$\vm{x}_k$��$\vm{\alpha}$�˼�«����Ȥ��롥����ȡ���
(\ref{eq:relaxation})�ȼ�(\ref{eq:linear_equations})����٤�С�$\vm{\alpha}$��
$\vm{x}$�����������Ȥ��狼�롥���ʤ������(\ref{eq:relaxation})�Ǹ���������
(\ref{eq:linear_equations})��ɽ������硤$\vm{x}_k$����«����С�ɬ�����β�
$\vm{x}$�˼�«����ΤǤ��롥�̤β�˼�«���뤳�ȤϤʤ������β�˼�«���뤫��ȯ��
���뤫�Τ����줫�Ǥ��롥��ư���뤳�ȤϤʤ��Τ�?������Ϥ褤����Ǥ��롥��̣����
��ͤ�Ĵ�٤ƤߤƤۤ�����
%
%---------------------------------------------------------------
\subsection{��μ�«�ξ��}
%---------------------------------------------------------------
��������ǡ���(\ref{eq:relaxation})��Ȥä�ȿ��ˡ�ξ�硤$\vm{x}_k$�μ�«������
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�ä��������Ǥϡ����줬��«������򼨤���

���β�ξ�硤��(\ref{eq:relaxation})��
%
\begin{align}
  \vm{S}\vm{x}=\vm{T}\vm{x}+\vm{b}
  \label{eq:relaxation_true}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥���μ�(\ref{eq:relaxation_true})���鼰(\ref{eq:relaxation})������ȡ�
�Ȥʤ롥
%
\begin{align}
  \vm{S}(\vm{x}-\vm{x}_{k+1})=\vm{T}(\vm{x}-\vm{x}_k)
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����ǡ�$\vm{x}-\vm{x}_{k+1}$��$\vm{x}-\vm{x}_k$�ϡ����β򤫤�κ�������
����������򼨤��Ƥ��롥k���ܤη׻��θ�����$\vm{e}_k$�Ȥ���ȡ�
%
\begin{align}
  \vm{e}_{k+1}=\vm{S}^{-1}\vm{T}\vm{e}_k
\end{align}
%
��ɽ�����Ȥ��Ǥ��롥���θ����٥��ȥ�$\vm{e}_k$�������˼�«����С��ϥåԡ��ʤΤ���

�ϥåԡ��ˤʤ뤿��ξ���õ������ˡ��׻��κǽ�θ�����$\vm{e}_0$�Ȥ��롥����ȡ�
%
\begin{align}
  \vm{e}_{k+1}
  &=\vm{S}^{-1}\vm{T}\vm{e}_k \nonumber \\
  &=\vm{S}^{-1}\vm{T}\vm{S}^{-1}\vm{T}\vm{e}_{k-1} \nonumber \\
  &=\vm{S}^{-1}\vm{T}\vm{S}^{-1}\vm{T}\vm{S}^{-1}\vm{T}\vm{e}_{k-2}
 \nonumber \\
  &=\vm{S}^{-1}\vm{T}\vm{S}^{-1}\vm{T}\vm{S}^{-1}\vm{T}\cdots
 \vm{S}^{-1}\vm{T}\vm{e}_0 \nonumber \\
  &=\left(\vm{S}^{-1}\vm{T}\right)^k\vm{e}_0
  \label{eq:conv_e_n}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥���μ��α��դ˹����k��η׻������롥���ΤȤ���\ref{subsec:multi_matrix}
���������̤����Ѥ��롥����$\vm{S}^{-1}\vm{T}$�θ�ͭ�ͤȸ�ͭ�٥��ȥ�Ǻ�����
��$\Lambda$��$\vm{X}$�Ȥ���ȡ���(\ref{eq:conv_e_n})��
%
\begin{align}
  \vm{e}_{k+1}=\vm{X}\Lambda^k\vm{X}^{-1}\vm{e}_0
\end{align}
%
�Ȥʤ롥���餫�ˡ��׻����k�����䤷�Ƥ����ȡ������Υ٥��ȥ��$\Lambda^k$�˰�¸��
�롥����ϡ�
%
\begin{equation}
 \Lambda^k=\left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   \lambda_1^k &              &           &                &      \\
             & \lambda_2^k    &           & \hugesymbol{0} &      \\
             &                & \lambda_3^k &              &      \\
             & \hugesymbol{0} &           & \ddots         &      \\
             &                &           &                & \lambda_n^k \\
  \end{array}
       \right]
\end{equation}
%
�ʤΤǡ�$k\rightarrow\infty$�ξ�硤����$\vm{e}_k$�������˼�«���뤿��ˤϡ���ͭ
�ͤ��٤Ƥ�$|\lambda_i|<1$�Ǥʤ��ƤϤʤ�ʤ��������ơ���«��®�٤ϡ�����θ�ͭ��
$\max|\lambda_i|$�˰�¸���롥���������ͤ�����θ�ͭ�ͤ򥹥ڥ��ȥ�Ⱦ�¤ȸ�����

�����Ǹ��������Τϡ�ϢΩ��������(\ref{eq:relaxation})��ȿ��ˡ�Ƿ׻������硤
��̤������ͤ˼�«���뤿��ˤϡ�����$\vm{S}^{-1}\vm{T}$�κ����ͭ�ͤ������ͤ�1��
���Ǥʤ��ƤϤʤ�ʤ��ȸ������ȤǤ��롥

�����ͭ�ͤ�1�ʲ��ˤʤ����ξ���õ�����Ȥ��񤷤����ޤ���ͽ�����
$\vm{S}^{-1}\vm{T}$�κ����ͭ�ͤ�׻����뤳�Ȥ�ͤ����뤬������⤫�ʤ�η׻�
�̤�ɬ�פǡ�ȿ��ˡ��ȤäƷ׻����֤�û�̤�����åȤ�̵���ʤäƤ��ޤ������Τ褦
�ʤ��Ȥ��顤ȿ��ˡ�ϤȤꤢ������Ƥߤơ�ȯ������褦�Ǥ����¾����ˡ���ڤ��ؤ�
��Τ��ɤ�����������ǽҤ٤�SORˡ�β�®���·���$\omega$��1�ʲ��ˤ���Ȥ�����ˡ��
���롥
%
%=====================================================================
\section{�䥳��ˡ}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�׻���ˡ}
%---------------------------------------------------------------------
�׿�����$\vm{A}$���гѹ����ȿ���׻��ι���$\vm{S}$�Ȥ�����Τ��䥳��(Jacobi)ˡ��
���롥�����Ǥ⡤�䥳�Ӥϴ��Ф����䥳��ˡ�Ǥϡ����������
%
\begin{equation}
 \left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots  & a_{1n} \\
   a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots  & a_{2n} \\
   a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots  & a_{3n} \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\
   a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots  & a_{nn}
  \end{array}
 \right]=\left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   a_{11} & 0       & 0       & \ldots  & 0      \\
   0       & a_{22} & 0       & \ldots  & 0      \\
   0       & 0       & a_{33} & \ldots  & 0      \\
   \vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots \\
   0       & 0       & 0       & \ldots  & a_{nn}
  \end{array}
 \right]+\left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   0      & a_{12} & a_{13} & \ldots  & a_{1n} \\
   a_{21} & 0      & a_{23} & \ldots  & a_{2n} \\
   a_{31} & a_{32} & 0      & \ldots  & a_{3n} \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\
   a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots  & 0
  \end{array}
       \right]
\end{equation}
%
��ʬ�򤹤롥������1�ब����$\vm{S}$����2�ब$-\vm{T}$�Ȥʤ롥$\vm{x}_{k+1}$�β��
�׻���ɬ�פ�$\vm{S}$�εչ���ϡ����줬�гѹ���ʤΤǡ�
%
\begin{equation}
\vm{S}^{-1}=
\left[
  \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}}
   a_{11}^{-1} & 0       & 0       & \ldots  & 0       \\
   0       & a_{22}^{-1} & 0       & \ldots  & 0      \\
   0       & 0       & a_{33}^{-1} & \ldots  & 0      \\
   \vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots      \\
   0       & 0       & 0       & \ldots  & a_{nn}^{-1}
  \end{array}
       \right]
\end{equation}
%
�ȴ�ñ�Ǥ��롥k+1���ܤζ����ϡ�
$\vm{x}_{k+1}=\vm{S}^{-1}\left(\vm{b}+\vm{T}\vm{x}_k\right)$�ʤΤ��ưפ˵��뤳
�Ȥ��Ǥ��롥�ºݡ�k���ܤβ�
%
\begin{align}
  x_1^{(k)},\,x_2^{(k)},\,x_3^{(k)},\,\cdots,\,x_n^{(k)}\nonumber
\end{align}
%
�Ȥ���ȡ�k+1���ܤβ��
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  &x_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left(
  a_{12}x_2^{(k)}+a_{13}x_3^{(k)}+a_{14}x_4^{(k)}+
  \cdots+a_{1n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_2^{(k+1)}=a_{22}^{-1}\left\{b_2-\left(
  a_{21}x_1^{(k)}+a_{23}x_3^{(k)}+a_{24}x_4^{(k)}+
  \cdots+a_{2n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_3^{(k+1)}=a_{33}^{-1}\left\{b_3-\left(
  a_{31}x_1^{(k)}+a_{32}x_2^{(k)}+a_{34}x_4^{(k)}+
  \cdots+a_{3n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &\hspace{30mm}\vdots \\
  %
  &x_n^{(k+1)}=a_{nn}^{-1}\left\{b_n-\left(
  a_{n1}x_1^{(k)}+a_{n2}x_2^{(k)}+a_{n3}x_3^{(k)}+
  \cdots+a_{nn-1}x_{n-1}^{(k)}\right)\right\} \\
 \end{aligned}
\end{equation}
%
�ȷ׻��Ǥ��롥���줬���䥳��ˡ�Ǥ��롥����η���ɽ����
%
\begin{align}
 \vm{x}^{(k+1)}=\vm{D}^{-1}\left\{\vm{b}-
 \left(\vm{A}-\vm{D}\right)\vm{x}^{(k)}\right\}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥�����ǡ�$\vm{D}$�Ϸ�������$\vm{A}$���г���ʬ�����ä��гѹ���Ǥ��롥

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��«���}
%---------------------------------------------------------------------
$\vm{A}$���г�ͥ�̤ʹ���ξ�硤�䥳��ˡ��$\vm{S}^{-1}\vm{T}$�κ����ͭ�ͤ�1�ʲ�
�ˤʤ뤳�Ȥ�ʬ���äƤ���\footnote{Gershgorin��������Ȥ���}���г�ͥ�̹���ʤ�С�
�䥳��ˡ�ϼ�«����ΤǤ��롥��ʬ���ǤϤ��뤬������ϻȤ��롥�ʤ��ʤ�С������ʳ�
�η׻��Ǥ��ܤˤ�����¿���ι���Ϥ����������������Ƥ��뤫��Ǥ��롥
%=====================================================================
\section{�������������ǥ�ˡ}
%=====================================================================
�䥳��ˡ����ħ�Ǥϡ�$\vm{x}^{(k+1)}$�ζ���ͤϡ����٤Ƥ���������$\vm{x}^{(k)}$��
�Ȥ����Ȥˤ��롥�礭�ʹ���򰷤���硤���Ƥ�$\vm{x}^{(k+1)}$��$\vm{x}^{(k)}$��
������ɬ�פ����ꡤ�礭�ʥ��꡼��ɬ�פȤʤ����꤬������~\cite{��������Ȥ��α�
��}�����Ǥϡ��Ŀͤ��礭�ʥ��꡼��Ȥ��׻����뤳�Ȥϵ�����뤬������ä����ޤ�
�ϤǤ���������꡼�����󤷤��ץ�������񤫤ʤ��ƤϤʤ�ʤ��ä���

�����ǡ�$\vm{x}^{(k+1)}$�γ���ʬ�η׻��������ȡ������ľ���˻Ȥ����Ȥ��ͤ��С�
���꡼��Ⱦʬ�ǺѤࡥ¨����$x_i^{k+1}$��׻�����Ȥ��ˡ�
%
\begin{multline}
 x_i^{k+1}=a_{ii}^{-1}\left\{b_i-(
 a_{i1}x_1^{(k+1)}+a_{i2}x_2^{(k+1)}+a_{i3}x_3^{(k+1)}+\cdots+
 a_{ii-1}x_{i-1}^{(k+1)}+\right. \\ \left.
 a_{ii+1}x_{i+1}^{(k)}+a_{ii+2}x_{i+2}^{(k)}+a_{ii+3}x_{i+3}^{(k)}+\cdots+
 a_{in}x_n^{(k)})\right\}
\end{multline}
%
�Ȥ���ΤǤ��롥�ºݤη׻��Ǥϡ�k+1���ܤβ��
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  &x_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left(
  a_{12}x_2^{(k)}+a_{13}x_3^{(k)}+
  a_{14}x_4^{(k)}+\cdots+a_{1n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_2^{(k+1)}=a_{22}^{-1}\left\{b_2-\left(
  a_{21}x_1^{(k+1)}+a_{23}x_3^{(k)}+
  a_{24}x_4^{(k)}+\cdots+a_{2n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_3^{(k+1)}=a_{33}^{-1}\left\{b_3-\left(
  a_{31}x_1^{(k+1)}+a_{32}x_2^{(k+1)}+
  a_{34}x_4^{(k)}+\cdots+a_{3n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &\hspace{30mm}\vdots \\
  %
  &x_n^{(k+1)}=a_{nn}^{-1}\left\{b_n-\left(
  a_{n1}x_1^{(k+1)}+a_{n2}x_2^{(k+1)}+
  a_{n3}x_3^{(k+1)}+\cdots+a_{nn-1}x_{n-1}^{(k+1)}\right)\right\} \\
 \end{aligned}
 \label{eq:Gauss_Seidel}
\end{equation}
%
�ȷ׻��Ǥ��롥���줬���������������ǥ�ˡ�Ǥ��롥

���Υ������������ǥ�ˡ�ϡ�k���ܤ�k+1���ܤβ�򺮤��ƻȤ��Ȥ����������ʤ��Ȥ���
�Ƥ��뤬������η�̡���«���ϥ䥳��ˡ�ȤۤȤ��Ʊ���ȸ������ȤǤ��롥�䥳��ˡ
����٤Ƥɤ��餬�ɤ����Ȥ�����
%
\begin{itemize}
 \item ���꡼�������ͤ�����硤�������������ǥ�ˡ�˷��ۤ��夬�롥
 \item �׻�®�٤Ǥϡ��������������ǥ�ˡ�������ᤤ�Ȼפ��롥
\end{itemize}
%
�Ȥʤ롥�䥳��ˡ��Ȥ����ϡ��������������ǥ�ˡ��Ȥ������ɤ��Ǥ�������
%
%=====================================================================
\section{SORˡ}
%=====================================================================
�����Ǥϡ�����®���༡��®����ˡ(SORˡ:Successive Over-Relaxation)�ˤĤ�������
���롥���ΤǤ������ϡ�ʸ��~\cite{�ޥȥ�å����ο��ͷ׻�}�򻲹ͤˤ��������ζ��ʽ�
�ˤϡ�����η׻��ƥ��˥å���¿���礫��Ƥ���Τ������ǡ����Τ褦�ʷ׻��򤹤�ͤ�
���ͽ�Ȥ��ƻ��äƤ����Τ��ɤ���������

�������������ǥ�ˡ���äȲ���������ˡ�����롥�������������ǥ�ˡ�β�ν����ϡ�
$x_{k+1}-x_k$�Ǥ��ä�����������ä��礭�ʥ��ƥåפˤ��褦�Ȥ����ΤǤ��롥�̾�
�ξ�硤�������������ǥ�ˡ�Ǥ϶����Ϥ��Ĥ�Ʊ��¦�ˤ��ꡤñĴ�˼�«���롥���Τ�
�ᡤ������Ŭ���ˤ���С���ä��᤯��˶�Ť����������򡤲�®���¾��$\omega$����
���ơ�$\omega(x_{k+1}-x_k)$�Ȥ�������ͤ���줿�����줬��SORˡ�Ǥ��롥

����Ū�ʷ׻����ϡ����Τ褦�ˤ��롥�����Ǥϡ��������������ǥ�ˡ�μ�
(\ref{eq:Gauss_Seidel})���Ѥ��ơ�����줿������$\tilde{x}_i^{(k+1)}$�Ȥ��Ƥ��롥
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  &\tilde{x}_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left(
  a_{12}x_2^{(k)}+a_{13}x_3^{(k)}+
  a_{14}x_4^{(k)}+\cdots+a_{1n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_1^{(k+1)}=x_1^{(k)}+\omega\left(\tilde{x}_1^{(k+1)}-x_1^{(k)}\right)\\
  %
  &\tilde{x}_2^{(k+1)}=a_{22}^{-1}\left\{b_2-\left(
  a_{21}x_1^{(k+1)}+a_{23}x_3^{(k)}+
  a_{24}x_4^{(k)}+\cdots+a_{2n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_2^{(k+1)}=x_2^{(k)}+\omega\left(\tilde{x}_2^{(k+1)}-x_2^{(k)}\right)\\
  %
  &\tilde{x}_3^{(k+1)}=a_{33}^{-1}\left\{b_3-\left(
  a_{31}x_1^{(k+1)}+a_{32}x_2^{(k+1)}+
  a_{34}x_4^{(k)}+\cdots+a_{3n}x_n^{(k)}\right)\right\} \\
  %
  &x_3^{(k+1)}=x_3^{(k)}+\omega\left(\tilde{x}_3^{(k+1)}-x_3^{(k)}\right)\\
  %
  &\hspace{30mm}\vdots \\
  %
  &\tilde{x}_n^{(k+1)}=a_{nn}^{-1}\left\{b_n-\left(
  a_{n1}x_1^{(k+1)}+a_{n2}x_2^{(k+1)}+
  a_{n3}x_3^{(k+1)}+\cdots+a_{nn-1}x_{n-1}^{(k+1)}\right)\right\} \\
  %
  &x_n^{(k+1)}=x_n^{(k)}+\omega\left(\tilde{x}_n^{(k+1)}-x_n^{(k)}\right)\\
  %
 \end{aligned}
 \label{eq:Gauss_Seidel}
\end{equation}
%
���줬��SORˡ�Ǥ��롥

�����ǡ�����ʤΤ���®���·���$\omega$���ͤ��������Ǥ��롥���餫�ˡ����줬1�ξ�
�硤�������������ǥ�ˡ�Ȥʤ���åȤ�̵�����ޤ���1�ʲ����ȡ��������������ǥ�ˡ
�����«���٤������������������������ǥ�ˡ�Ǽ�«���ʤ��褦������ˤϻȤ��롥

���äơ�1�ʾ���ͤˤ������櫓�Ǥ��뤬��;���礭������ȡ�ȯ������Τ��ܤ˸�����
���롥����ˤĤ��Ƥϡ�2��ۤ����ȯ�����뤳�Ȥ�ʬ���äƤ��롥��Ŭ�ͤȤʤ�ȡ���
������1.9���餤�����Ф�뤳�Ȥ�¿����
%
%=====================================================================
\section{����ͤȷ׻��ν�λ}
%=====================================================================
�ɤ�����ͤ�Ϳ������С��׻����᤯��«������������������ɤ�����ͤȤ�����Τ�
�ʤ��ʤ�ʬ����ʤ��������ͤ��ơ����ޤ긫���㤤�Τʤ�����ͤ�Ϳ����Τ��ɤ�����
������«���ᤤ�Τǡ�����ͤ�ʣ���ˤ��ʤ������ɤ���

���˷׻��ν�λȽ��Ǥ��뤬����ʬ�����β�˶�Ť����Ȥ��ˡ��׻��򤦤��ڤ�ΤǤ���
�������θ��ˤ᤬���פǤ��롥�����Ǥϡ�2�Ĥ���ˡ�򤷤Ƥ��Ƥ�������«Ƚ��Υѥ�᡼
�����Ȥ��ơ���ʬ������$\varepsilon$��Ĥ�����

�ޤ����Ϥ���˼����Τ���ʿ��Ū�ʽ����̤�ͤ�����Ǥ��롥�ʲ��ξ�郎��Ω������
���˷׻���ߤ�롥
%
\begin{align}
 \frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}\right|}
 {\sum_{i=1}^{n}\left|x_i^{(k+1)}\right|}<\varepsilon
\end{align}
%

���˺���ν����̤�ͤ�����Ǥ��롥����ϡ��ʲ��ξ�郎��Ω�����Ȥ��˷׻���ߤ�롥
%
\begin{align}
 \max\left|\frac{x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}}{x_i^{(k+1)}}\right|<\varepsilon
\end{align}
%
%======= ����ʸ�� ====================================================
\bibliographystyle{junsrt}
\bibliography{reference} 
%
%=====================================================================
\end{document}



