%=====================================================================
% ���Ĺ��� 5E �׻������ѥƥ�����
%�����¸��½��ơ��ޡ��������̤η׻�
%    �ܥƥ����Ȥ�����
%�����������Ϥ����
%����������������
%��������������
%
% last updated 2005.12.9
%    created by  Masashi Yamamoto
%     e-mail yamamoto@akita-nct.jp
%=====================================================================
\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,float,verbatim,multirow,bigdelim}
%
\oddsidemargin 0mm  %����;�� 25.4mm-0mm������ڡ���
\evensidemargin 0mm %����;�� 25.4mm-0mm�������ڡ���
\textwidth 160mm
%
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\hugesymbol}[1]{\mbox{\strut\rlap{\smash{\Huge$#1$}}\quad}}
\newcommand{\grad}[1]{\nabla #1}
\renewcommand{\div}[1]{\nabla\cdot #1 }
\newcommand{\rot}[1]{\nabla\times #1}
\newcommand{\pdiff}[3]{
\if 1#1 \frac{\partial #2}{\partial #3}
\else
\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}
\fi
}
%
\begin{document}
\title{�������̤η׻�}
\author{���ܾ���\thanks{��Ω���Ĺ��ȹ�������ع����ŵ����ز�}}
\date{2005ǯ12��9��}
\maketitle
%
%
%=====================================================================
\section{�Ϥ����}
%=====================================================================
ȿ��ˡ���Ѥ��ơ�ϢΩ�������β����ͷ׻�������������Ǥ��롥Ⱦ�����ͤ���������ư
��̣�廊��褦�ʤ��⤷���������פ��Ĥ��ʤ��ä��������ǡ����˥������ɥå�����
����ǥ󥵡��Υ���ѥ����󥹤�׻����뤳�Ȥˤ��롥�������ŵ����زʤγ����ʤΤǡ�
���礦���ɤ���������Τ褦�ˤ�פ��롥

��μ��ȤǤϡ���ʬˡ��ؽ����������Ǥ�ϢΩ�����������פ�����̤����������Ǥϡ�
�⤦�������⤷�������Ѥ򶵤��롥�ڤ��ߤˤ��Ƥ���������
%=====================================================================
\section{������}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------
\subsection{����ǥ󥵡�������}
%---------------------------------------------------------------
����ǥ󥵡����ꤹ����פ������˥���ѥ�����(��������)������Τϡ���ʬ���Τ�
�Ƥ���Ȼפ��������׻�������ˡ�ϡ������������롥������ǡ��䤬����ǻȤ���ˡ�ϡ�
���ͥ륮������׻�������ˡ�Ǥ��롥����ϡ��ž�ξ��֤�����ѥ����󥹤����Ȥ�
����̣������ʪ��Ū��̣��ʬ����䤹�������֤��ž�$\vm{E}$��ʬ�ۤ��Ƥ����硤����
���ͥ륮��$\vm{U}$��
%
\begin{align}
 U_s
 &=\frac{1}{2}\int\varepsilon \vm{E}\cdot\vm{E}dV\nonumber\\
 &=\frac{1}{2}\int\varepsilon \vm{E}^2dV
 \label{eq:energy_electric_field}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥$\frac{1}{2}\varepsilon\vm{E}^2$�����ž�Υ��ͥ륮��̩�٤ˤʤäƤ��롥��
�����ʤ�������ʤ�м������Ϥ򤷤Ƥߤ补

�ޤ����褯�Τ��Ƥ���褦�ˡ�����ǥ󥵡����Ű�$V$�ȥ���ѥ�����$C$��
�����ơ������ˤ��ޤäƤ��륨�ͥ륮���δط��ϡ�
%
\begin{align}
 U_c=\frac{1}{2}CV^2
 \label{eq:stored_energy_in_capcitance}
\end{align}
%
�Ǥ��롥����ǥ󥵡������Ǥϡ������Ͽ�\ref{fig:capacitance}�Τ褦�ʴط��ˤʤ�
�Ƥ��롥���줫���ʬ����褦�ˡ�����ǥ󥵡��������ˤϼ�
(\ref{eq:energy_electric_field})���������ž�Υ��ͥ륮�����ߤ����Ƥ��롥��������
��Ū�ˤϡ���\ref{eq:stored_energy_in_capcitance}���������ͥ륮�����ߤ����Ƥ��롥
�����Υ��ͥ륮���ϡ������������Τǡ�
%
\begin{align}
 \frac{1}{2}\int\varepsilon \vm{E}^2dV=\frac{1}{2}CV^2
 \label{eq:energy_relation}
\end{align}
%
�Ȥ����ط������롥���μ��κ��դ��ž�Ϥ�����������ˡ�Ƿ׻��Ǥ������ž�Υ��ͥ�
��������뤳�Ȥ��Ǥ��롥�������Ű�$V$��ͽ��Ϳ�����Ƥ���Τǡ����Υ��ͥ륮�����
���äơ��������̤��׻��Ǥ��롥�פ���ˡ����ž�$E$����뤳�Ȥ��Ǥ���С�������
��$C$���׻��Ǥ���ΤǤ��롥

���ޤޤǡ��褯ʬ����ʤ��ä��������̤Ȥ�����Τϡ�����ǥ󥵡����ߤ����륨�ͥ륮���򼨤�
�ؿ��ȹͤ����ɤ�����ϡ����ιͤ����������Ǥ��롥�ʤˤ�����ʬ����䤹����
%
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=0.8]{figure/capcitance.eps}
  \caption{����ǥ󥵡����ͻ�}
  \label{fig:capacitance}
 \end{center}
\end{figure}
%
%
%---------------------------------------------------------------
\subsection{����ǥ󥵡��������ž�}
%---------------------------------------------------------------
��˼������Ȥ��ꡤ����ǥ󥵡��������ž줬ʬ����С����Υ���ѥ����󥹤���뤳
�Ȥ��Ǥ��롥����ϴ�ñ�ǤϤʤ������Ű�$V$���Ŷ˴ֵ�Υ$L$�ǳ��С�$E=V/L$�ȵ��
����ȸ����ͤ����롥����ϡ�����ǥ󥵡�������Ͷ��Ψ�����ͤʾ���������������
��ñ�������ϡ����ޤޤǤ��󤶤�ؽ����Ƥ��������Ĥޤ�ʤ��������Ǥϡ��⤦������
���������򤯤��Ȥˤ��롥

Ͷ��Ψ����3����($x,y,z$�δؿ�)���Ѳ�����ȷ׻������ѤʤΤǡ�1��������˸¤뤳��
�ˤ��롥2������3������ͤ�����Ʊ���Ǥ��뤬���׻������ѤǤ��롥�����ǡ��׻����륳
��ǥ󥵡������ϡ���\ref{fig:in_capa}�ΤȤ���Ȥ��롥Ͷ��Ψ�ϡ���ɸ$x$�δؿ��ǡ�
�Ѳ������ΤȤ��롥

���Τ褦�ʾ����ž�Ϥɤ��ʤ�ΤǤ�������?����Ĥ���ˡ�ϡ��ݥ��å���������
\footnote{$\div{\varepsilon\vm{E}=0}$��$\vm{E}=-\grad{\phi}$��������롥}
%
\begin{align}
 \nabla^2(\varepsilon\phi)=0
\end{align}
%
��򤯤��ȤǤ��롥�����ǡ�$\phi$�ϥݥƥ󥷥��ǡ��Ű��Τ��ȤǤ��롥��������ä�
�񤤤Ƥ���ΤǤ��롥������ʬ��������$\phi(0)=V_0,\phi(L)=V_1$�ζ������ǲ򤱤���
�������������ɬ�פʤ�Τ����Ʒ׻��Ǥ���Τǡ��������̤�׻��Ǥ��롥������������
�ϡ�������ˡ�Ƿ׻����ʤ����Ȥˤ��롥

�ݥ��å���������������ˡ�����ǥ󥵡��������ž�ϡ����Υ��ͥ륮�����Ǿ��ˤʤ�
�褦��ʬ�ۤ���ȸ���������Ȥ������������ΤФ����Ǥ⡤�������
$\phi(0)=V_0,\phi(L)=V_1$�ϲݤ����Ƥ��롥����ǥ󥵡��������Υ��ͥ륮���ϡ�1����
�ʤΤǡ�
%
\begin{align}
 U_s
 &=\frac{1}{2}\int\varepsilon \vm{E_x}^2dV \nonumber\\
 &=\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \vm{E_x}^2dx
\end{align}
%
�Ƚ񤱤롥

���Υݥƥ󥷥��ʬ�ۤ򥳥�ԥ塼�����˷׻������뤿��ˡ�����ǥ󥵡���������٤�
��N��ʬ�˶��ڤ롥�����ͻҤ��\ref{fig:finite}�˼���������ȡ����ͥ륮����
%
\begin{align}
 U_s
 &=\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \vm{E_x}^2dx \nonumber \\
 &=\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \left(\frac{d\phi}{dx}\right)^2dx 
 \nonumber \\
 &=\frac{S}{2}\sum_{i=1}^{N}\frac{\varepsilon_i+\varepsilon_{i-1}}{2}
 \left(\frac{\phi_i-\phi_{i-1}}{h}\right)^2h \nonumber \\
 &=\frac{Sh}{2}\left[
% 
\cdots+
%
 \frac{\varepsilon_i+\varepsilon_{i-1}}{2}
 \left(\frac{\phi_i-\phi_{i-1}}{h}\right)^2
%
+
%
 \frac{\varepsilon_{i+1}+\varepsilon_{i}}{2}
 \left(\frac{\phi_{i+1}-\phi_{i}}{h}\right)^2
%
+\cdots
%
 \right]
 \label{eq:stored_energy_sum}
\end{align}
%
�Ȥʤ롥

���ž�Υ��ͥ륮�����Ǿ��ˤʤ뤿��ˤϡ���ʬ�������ˤʤ�ɬ�פ����롥���Υ��ͥ륮��
��ݥƥ󥷥��$\phi_i$����ʬ�����
%
\begin{align}
 \pdiff{1}{U_s}{\phi_i}=Sh\left[
%
 \frac{\varepsilon_i+\varepsilon_{i-1}}{2}
 \left(\frac{\phi_i-\phi_{i-1}}{h}\right)
%
-
%
 \frac{\varepsilon_{i+1}+\varepsilon_{i}}{2}
 \left(\frac{\phi_{i+1}-\phi_{i}}{h}\right)
%
\right]\qquad(i=1,2,3,\cdots,N-1)
%
\end{align}
%
�Ȥʤ롥$U_s$���Ǿ��ͤˤʤ뤿��ˤϡ�$\pdiff{1}{U_s}{\phi_i}=0$�Ȥʤ�ɬ�פ����롥
�ޤ�������ǥ󥵡���ξü���Ű��ϸ��ꤵ��Ƥ���Τǡ�$\phi_0=V_0$��$\phi_N=V_1$�Ǥ��롥
���äơ�������ޤȤ���
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
 &\phi_0=V_0\\
&-\left(\varepsilon_{i-1}+\varepsilon_{i}\right)\phi_{i-1}
 +\left(\varepsilon_{i-1}+2\varepsilon_{i}+\varepsilon_{i+1}\right)\phi_i
 -\left(\varepsilon_{i}+\varepsilon_{i+1}\right)\phi_{i+1}=0\\
 &\phi_N=V_1
\end{aligned}
\right.
\label{eq:potential_equations}
\end{equation}
%
�Ȥʤ롥�פ���ˡ�����ϢΩ1����������׻�����С�Ǥ�դ�Ͷ��Ψ�ξ��Υ���ǥ󥵡������Υݥ�
�󥷥��(�Ű�)�������롥�ݥƥ󥷥�뤬ʬ����С��ž줬ʬ���ꡤ���������������
���ͥ륮�����׻��Ǥ��롥���äơ��������̤�������櫓�Ǥ��롥

���Ĥϡ������Ǽ������׻���ˡ��ͭ������ˡ�ȸƤФ�Ƥ��롥
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=0.8]{figure/in_capa.eps}
  \caption{����ǥ󥵡�����}
  \label{fig:in_capa}
 \end{center}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[hbtp]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=0.8]{figure/finite.eps}
  \caption{ʬ����ͻ�}
  \label{fig:finite}
 \end{center}
\end{figure}
%
%
%=====================================================================
\section{����}
%=====================================================================
��ñ�Τ��ᡤ
\begin{align}
 V_0=0 \\ 
 V_1=1 \\
 S=1 \\
 L=1
\end{align}
�Ȥ��补�����ơ��ʲ��ξ����������̤���补
%
\begin{itemize}
 \item $\varepsilon=1$�Ȥ��������������̤���补���ϰʲ����̤ꡥ
 \begin{itemize}
  \item ��(\ref{eq:potential_equations})��SORˡ����ϥ������������ǥ�ˡ�ˤ��׻���
	�ơ��ݥƥ󥷥��$\phi_i$����롥
  \item �ݥƥ󥷥��$\phi_i$���Ѥ��ơ���(\ref{eq:stored_energy_sum})��׻�������
	�ž�Υ��ͥ륮����׻����롥
  \item ���ž�Υ��ͥ륮����ꡤ��(\ref{eq:energy_relation})��׻����ơ���������
	��׻����롥
 \end{itemize}
 \item $0<x<0.5$�Ǥ�$\varepsilon=1$��$0.5<x<1.0$�Ǥ�$\varepsilon=2$�ξ�������
       ���̤�׻����补�ޤ�����׻�������������Ӥ��补
 \item $0<x<1$�Ǥ�$\varepsilon=1+x$�ξ����������̤�׻����补�����񤷤�������
       ���׻�����Ӥ��补
\end{itemize}
%
%=====================================================================
\end{document}



